Ограниченность решений нелинейных систем дифференциальных уравнений относительно части переменных

• Автор: Лапин, Кирилл Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Саранск
• Количество страниц: 91 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
РАЗДЕЛ 1. Ограниченность решений систем дифференциальных уравнений по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями
1.1 Критерий равномерной ограниченности решений систем дифференциальных уравнений по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями
1.2. Эквиограниченность и тотальная ограниченность решений систем дифференциальных уравнений по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями
1.3. Ограниченность в пределе решений систем дифференциальных уравнений по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями
РАЗДЕЛ 2. Исследование поведения решений систем дифференциальных уравнений второго и более высоких порядков на частичную ограниченность с частично контролируемыми начальными условиями
2.1. Равномерная ограниченность по скорости с контролем начальных скоростей нелинеаризованных колебаний связанных механических осцилляторов
2.2. Равномерная ограниченность по скорости с контролем начальных скоростей нелинеаризованных механических колебательных процессов в вязкой среде
2.3. Ограниченность в пределе по скорости с контролем начальных скоростей нелинеаризованных механических колебательных процессов
2.4. Исследование решений нелинейных систем дифференциальных уравнений на различные виды ограниченности по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями

РАЗДЕЛ 3. Прямой метод Ляпунова в исследовании неустойчивости по Лагранжу по всем переменным и по части переменных
3.1. Теоремы о неустойчивости по Лагранжу относительно всех и части переменных, использующие одну функцию Ляпунова
3.2. Теоремы о неустойчивости по Лагранжу относительно всех и части переменных, использующие две функции Ляпунова
3.3. Применение полученных результатов к исследованию неустойчивости по Лагранжу по всем и по части переменных конкретных систем дифференциальных уравнений
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ
Общая характеристика работы
Представленная диссертация посвящена разработке методов исследования поведения решений нелинейных систем дифференциальных уравнений, а именно, исследованию решений на различные виды ограниченности по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями и неограниченности решений по всем и части переменных. Такие задачи составляют активно развивающееся направление в качественной теории дифференциальных уравнений. Задача исследования ограниченности решений систем дифференциальных уравнений по части переменных является весьма актуальной для практических применений. Действительно, эта задача естественным образом возникает во многих прикладных областях, в которых требуется обеспечить нормальное функционирование какого-либо динамического объекта, исходя лишь из условий ограниченности движений этого объекта по части переменных. На идейной основе фундаментальных работ Т. Йосидзавы, Н.Г. Четаева, H.H. Кра-совского, В.В. Румянцева, A.C. Озиранера, В.И. Воротникова, указанных ниже в пункте «Актуальность темы», в диссертации введены новые математические понятия, а именно, понятия различных видов ограниченности решений систем дифференциальных уравнений по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями. Основные результаты диссертации связаны с разработкой методов исследования решений на различные виды ограниченности по части переменных с частично контролируемыми начальными условиями и неограниченности решений по всем и части переменных. Важное место в работе уделяется применению полученных результатов к исследованию поведения решений динамических систем, описывающих реальные процессы, а это говорит о том, что полученные результаты могут найти применение не только в математике, но и во многих других областях естествознания.

функция b(r) возрастающая, то из неравенства i>(||y(i, ЖоДо)||) < ^(^0 гю~ лучим неравенство [|y(t, х0, £0)|| < Р при t € Ax(Lxo to)(R0) и, следовательно, имеем \y(t, ж0,Ф)|| < Р при всех t G М+(ф)- Из этого получаем, что для любого а, удовлетворяющего условию R0 < у о | [ ^ а, в качестве искомого P(to, а) можно взять указанное выше число /3. Таким образом, для любого числа а > Rq требуемое число /3(ф, а) найдено.
Подводя итог сказанному выше, получаем, что при выполнении условий 1) и 2) данной теоремы решения системы (1.1.1) у-эквиограничены с Уо-контролем. ■
Отметим, ЧТО если в условиях теоремы 1.2.2 ПОЛОЖИТЬ Уо = Ж() и Rq = О, то получим теорему об у-эквиограниченности решений системы (1.1.1) из работы [49], поскольку условие V(t,x) ф a(t, ||у||), которое превращается при уо = Жо в условие V(t, х) ф a(t, ||ж||), можно для Rq = 0 снять. Действительно, если R0 = 0, то от функции ait. г), как показывают рассуждения в доказательстве теоремы 1.2.2, можно не требовать выполнения условия того, что функция a(t, Rq) является певозрастающей по t. С другой стороны, если от a(t, г) не требуется того, чтобы a(t, 0) была певозрастающей по t, то такую функцию a(t,r), i. ф 0, г ф 0, всегда можно для каждого фиксированного t ф 0 определить, например, формулой
ait, г) = г2 + 1 + max Vit, х).
Неочевидно, что для так определенной функции a(t, г) выполнены условия a(t,r) > 0, V(t,x) < a(t, ||ж||) и, кроме того, при каждом фиксированном t ф 0 так определенная функция a(t, г) является возрастающей по г. Таким образом, если уо = То и До = 0, то условие V(t,x) ф a(t, ||ж||) действительно можно снять. Отметим теперь, что в случае, когда Уо Ф XQ и R0 = 0, проведенные выше рассуждения неверны, поскольку множество {:г € К" | ||у|| ^ г} не является компактным и, следовательно, указанная