Об одном методе приближенного нахождения периодических решений систем обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений

• Автор: Портнов, Михаил Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 137 с. : ил.

Общая характеристика работы
Краткое содержания работы
1 Постановка задачи и краткий обзор способов ее решения
1.1 Постановка задачи
1.2 Обзор некоторых методов решения задачи
2 Скалярные уравнения первого порядка
2.1 Постановка задачи и вспомогательные утверждения
2.2 Схема метода
2.3 Применение и сходимость метода для скалярных уравнений первого порядка в общем случае
2.4 О модификации метода в случаях уравнений с правой частью особого вида
I 3 Скалярные уравнения произвольного порядка
3.1 Постановка задачи и вспомогательные утверждения
3.2 Схема метода для уравнений р-го порядка
> 3.3 Сходимость метода в общем случае
1 3.4 К вопросу о существовании периодических решений
3.5 О модификации метода в случаях уравнений с правой частью особого вида
4 Системы уравнений первого порядка
4.1 Постановка задачи и вспомогательные утверждения
4.2 Схема метода для систем уравнений первого порядка
4.3 Основные теоремы о применении и сходимости метода
I, 4.4 О практической реализации метода
5 Системы дифференциальных уравнений произвольного порядка

5.1 Постановка задачи и вспомогательные утверждения
5.2 Схема метода для уравнений р-го порядка
ч 5.3 Сходимость метода в общем случае
5.4 Примеры, иллюстрирующие применение метода
Заключение
Список литературы

Общая характеристика работы.
Актуальность темы. Теория нелинейных колебаний представляет собой весьма интенсивно развивающийся раздел качественной теории дифференциальных уравнений и прикладной математики. Это обусловлено, с одной стороны, важностью практического приложения теории краевых задач при решении самых разнообразных задач науки и техники [8, 16, 58], с другой стороны - необходимостью решения целого ряда теоретических вопросов, связанных с исследованием существования, единственности, непрерывной зависимости решения от данных задачи, а также построением эффективных методов их отыскания. Кроме того, теория периодических решений является частью теории краевых задач, что в ряде случаев позволяет использовать полученные результаты при рассмотрении краевых задач. Вопросом построения периодических решений занимались А. Пуанкаре, А.М. Ляпунов, Н.М. Крылов, Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский, И.Г. Малкин, Е.А. Гребенников, А.М. Самойленко, Дж. Хейл, Л. Чезари и другие ученые.
При изучении различных задач теории нелинейных колебаний важно уметь точно или приближенно получать периодические решения систем обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. На данный момент существует несколько качественно различных подходов к изучению и построению периодических решений.
Одним из достаточно эффективных средств изучения нелинейных колебаний являются асимптотические методы нелинейной механики, разработанные в фундаментальных трудах [26, 5, 28, 29], в дальнейшем развитые их учениками и последователями. Однако асимптотические методы не могут в полном объеме решить проблему изучения даже чисто гармонических

то последовательность периодических функций хД£) равномерно сходится крешению периодической задачи (3.1.1-3.1.3), причем справедливы оценки для функций последовательности и их первых р — 1 производных

Х„
|<-*1
ж(р 1) _ х4р-1)

< СГ(Е - О)

( ||®1-®о||2
|К — ®о112
2
(р-1) _ (Р-1)
**'1 •*/П
(3.3.4)
2
ип ~ ПО
_ гЧР-1)
{ . ||я?1 — аго|1о ^ 1К-411о
о
(р-1) _ (р-1)

(3.3.5)
о
где неравенства следует понимать как покомпонентные, - постоянная
р х р-матрица
<3 - БЬ,
Б = со1 (У^-2р+1//2 (ЬМ)
Ь = Г-1 .. .■ ,
2 1-7)
>Г р

[х-р
Xх Р ... я:

(3.3.6)
(3.3.7)
(3.3.8)
(3.3.9)
Оу(-1)Р+1В2Р/(2р)! + ЬМ/^

-р-1л/(-1№р_2/(2Р-2)!

,УНРДД2)!
Е- единичная р х р-матрица.
Ь, Ду - числа Бернулли,
(3.3.10)