Исследование одного класса точных решений в задаче о движении волчка Ковалевской в двойном силовом поле

• Автор: Савушкин, Александр Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Волгоград
• Количество страниц: 123 с. : ил.

Глава 1. Основной класс движений и его классический аналог

1.1. Уравнения вращения твердого тела в двойном силовом поле

1.2. Общие интегралы и частные случаи интегрируемости по Якоби

1.3. Классический аналог движений класса У4

Итоги главы 1

Глава 2. Общие свойства основного класса движений

2.1. Инвариантное определение основного многообразия У4

2.2. Симплектическая структура и новый интеграл

2.3. Бифуркационное множество интегрального отображения

Основные результаты главы 2

Глава 3. Разделение переменных и явные решения

3.1. Разделение переменных
3.2. Выражения для фазовых переменных
3.3. Область существования и виды решений
3.4. Построение явных решений для регулярных областей
3.5. Явные решения на множестве М = 0
Основные результаты главы 3
Глава 4. Интегральные многообразия
4.1. Регулярные интегральные многообразия
4.2. Разделяющее множество £ - 0 (полурегулярный случай)
4.3. Критические движения и интегральные поверхности
Основные результаты главы 4
Список литературы
Приложение 1
Приложение 2
Более 250 лет задача о вращении абсолютно твердого тела вокруг одной закрепленной точки привлекает внимание исследователей в области механики и математики. Простота уравнений движения, предложенных Леонардом Эйлером в середине XVIII века, и их принципиальная неинтегрируемость (в полной мере так и не доказанная) остаются источником вдохновения сотен ученых. Литература по этому вопросу необозрима. Результаты, относящиеся к классической задаче - движению твердого тела в поле силы тяжести, по состоянию на 1979 год были изложены в книге [13], остающейся и на сегодня их наиболее полным обзором. В тот же период была подготовлена библиография [30], содержащая перечень из 1200 монографий и статей зарубежных и отечественных ученых по динамике твердого тела с неподвижной точкой.
Новое направление в этой задаче открылось в связи с публикацией работы С. Смейла [28], посвященной топологическому и теоретикогрупповому подходу к задачам небесной механики. Идеи Смейла были обобщены и реализованы для так называемых общих случаев интегрируемости движения тяжелого гиростата и тела в центральном ньютоновском поле (решения Эйлера - Жуковского, Ковалевской, Чаплыгина - Сретенского, Клебша) в работах М.П. Харламова [35, 37, 40] (полностью эта серия результатов изложена в монографии [41]). Тем самым была выявлена фазовая топология перечисленных интегрируемых систем.
Однако задача все же была и остается неисчерпаемой. Новые методы топологического анализа и более утонченные характеристики классификации интегрируемых систем [10], поиск аналогов известных решений в абстрактных задачах о «многомерных» телах, в задаче Кирхгофа о движении твердого тела в жидкости (математически эквивалентной классу задач о

вращении гиростата вокруг неподвижной точки в осесимметричном поле) привели к ряду новых результатов ([44, 29, 27, 25] и др.).
Объект исследования
Наиболее сложным из всех известных случаев является решение, найденное С.-В. Ковалевской для тела в поле силы тяжести [61]. Аналитические выражения основных переменных [61, 60] не позволяют непосредственно установить характер движения. Для отдельных частных случаев в работах [49, 22, 45, 50, 12, 11] дано геометрическое истолкование движения, основанное на теореме Пуансо [62], кинематических уравнениях П. В. Харламова [47] и алгоритме М. П. Харламова [38]. Качественные свойства некоторых составляющих движения (средние изменения углов прецессии и собственного вращения, общий характер движения оси динамической симметрии) устанавливались в работах Г. Г. Аппельрота [1-4],
В. В. Козлова [23]. Фазовая топология случая Ковалевской описана в [42, 35, 41]. Но и этого оказалось недостаточно для прояснения всей уникальности этого решения. Недавно опубликованы новые исследования, которые позволили дать описание задачи Ковалевской с точностью до топологической эквивалентности соответствующей динамической системы [9].
Поиск обобщений случая Ковалевской не прекращался. Первое из них для случая гиростата было получено в [48]. В середине 80-х гг. появились очень близкие результаты, все из которых, вероятно, следует считать приоритетными. В 1984 году О.И. Богоявленский [7, 8] сформулировал задачу о вращении тяжелого намагниченного тела в двойном постоянном поле - гравитационном и магнитном и там же указал случай существования в дополнение к интегралу энергии Н интеграла типа Ковалевской К. Это решение было распространено на осесимметричный гиростат в работах [52, 65]. Одновременно интеграл типа Ковалевской для тяжелого гиростата был найден в [59] (фазовая топология соответствующего решения изучена в [44]).

рых возможно нарушение гладкости А4 (по крайней мере, в структуре подмногообразия в 9Я6): в силу равенства (2.40) и доказанного соотношения (2.47) в этих точках Ь = 0, и, значит, вырождается индуцированная симплек-тическая форма. В этой работе топологическая структура инвариантного многообразия А4 более подробно изучаться не будет. Заметим, что на сегодня не исследована даже топология упомянутого в главе 1 трехмерного многообразия Аппельрота Л , которое для А4 является классическим аналогом.
2.3. Бифуркационное множество интегрального отображения
В последние годы классическое понятие отображения момента [53, 28], как порожденного симплектическим действием некоторой группы Ли на фазовом пространстве гамильтоновой системы, претерпело изменения. В работах по некоммутативному интегрированию (см., например, [34]) отображением момента называют любое отображение, составленное из максимального набора первых интегралов.
В нашем случае на А4 отображение момента можно определить многими способами, выбирая различные независимые почти всюду пары из указанных пяти первых интегралов. Имея в виду возможность приложении к изучению изоэнергетических уровней, которым придается большое значение в исследованиях фазовой топологии интегрируемых гамильтоновых систем (отметим, в том числе, работы по случаю Ковалевской [9, 57, 56, 63]), в качестве основного интеграла выберем гамильтониан Н. В качестве второго возьмем функцию М . Тогда, имея бифуркационную диаграмму отображения момента
Л = МхЯ :УУ4->Я2 (2.50)
в плоскости (ш,И), легко получим соответствующие диаграммы в плоскостях {g,h) или (к,И), воспользовавшись связями (2.8) и (2.46).