Стохастический программный синтез в конфликтном управлении с оптимизацией позиционных и квазипозиционных функционалов

• Автор: Коврижных, Антон Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 112 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ИГРА НА МИНИ-

МАКС ПОЗИЦИОННОГО ФУНКЦИОНАЛА

1. Постановка задачи

2. Стохастическая программная конструкция

3. Свойства стохастической программной конструкции.

4. Стабильность стохастического программного максимина.

5. Цена игры

6. Вычисление программного экстремума

Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ИГРА НА МИНИ-

МАКС КВАЗИПОЗИЦИОННОГО ФУНКЦИОНАЛА .
7. Постановка задачи
8. Стохастическая программная конструкция для игры с по-
казателем 7(4)
9. Стабильность стохастического программного максими-
на Д(4)(-)
10. Вычисление программного экстремума в(4)(-)
Глава 3. ОДНА ЗАДАЧА С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА УПРАВЛЯЮЩИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ИГРОКОВ
11. Постановка задачи
12. Предельная схема вычисления цены игры
13. Обоснование предельной схемы
14. Пример
Приложение
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Предлагаемая работа посвящена задаче управления динамической системой, которая описывается дифференциальными уравне-нями. Задача рассматривается в случае неполной информации о помехе. Предполагается, что помимо разумно организуемого управления на систему действуют силы, которые заранее можно лишь грубо оценить. Качество процесса оценивается подходящим функционалом (показателем качества) на реализациях движения системы. Возникает задача конфликтного управления, т.е. задача об управлении по принципу обратной связи, которое гарантиирует оптимально значение заданного показателя качества. Названная задача включается в круг антагонистических дифференциальных игр.
В настоящее время теория дифференциальных игр представляет собой самостоятельную дисциплину, имеющую прочные связи со многими разделами механики и математики. Существенный вклад в развитие теории дифференциальных игр внесли работы Р. Айзекса [1], Э.Г. Альбрехта [2], В.Д. Батухтина [4], Т. Башара [62], Р. Веллмана [5], В.Г. Болтянского [43], А. Брайсона [70], Р.Ф. Га-басова [7], Р.В. Гамкрелидзе [43], В.И. Жуковского [8], М.И. Зе-ликина [9], Н. Калтона [65], Ф.М. Кирилловой [7], А.Ф. Клейменова [11], А.Н. Красовского [12]- [17], H.H. Красовского [15, 16], [18]— [22], М.Г. Крендала [64], A.B. Кряжимского [23, 35], А.Б. Куржанско-го [24, 25], Дж. Лейтмана [63], Дж. Лина [72], П.Л. Лионса [64, 71], М.Д. Локшина [27], Н.Ю. Лукоянова [19, 28], A.A. Меликяна [30, 58], Е.Ф. Мищенко [31, 43], М.С. Никольского [33], Ж.П. Обена [61], Г. Ольсдера [62], Ю.С. Осипова [34, 35], B.C. Пацко [36], H.H. Петрова [37], Л.А. Петросяна [38], В.Г. Пименова [39], Г.К. Пожариц-кого [40], Е.С. Половинкина [41], Л.С. Понтрягина [42, 43], Б.Н. Пшеничного [44], Н.Ю. Сатимова [46], А.И. Субботина [21], [47]- [50],
H.H. Субботиной [48], А.М. Тарасьева [49, 51, 52], В.Е. Третьякова [15, 22, 53], В.И. Ухоботова [54], В.Н. Ушакова [52, 55], У. Флеминга [66, 67], А. Фридмана [68], Хо Ю-ши [69, 70], А.Г. Ченцова [50, 56], Ф.Л. Черноусько [57, 58], A.A. Чикрия [8, 59], Р. Эллиотта [65] и многих других ученых.
Диссертация базируется на концепции дифференциальных игр, развиваемой в Екатеринбурге [12]—[28], [34], [47]—[56]. В основе этой

концепции лежат понятия стабильных функций и множеств, метод экстремального прицеливания на стабильные множества (мосты) или на сопутствующие точки, определяемые по функции цены игры, методы построения величины цены игры на базе вспомогательных программных конструкций. В регулярных случаях эти вспомогательные программные конструкции являются детерминированными и тесно связаны с конструкциями из теории оптимального программного управления. В нерегулярных случаях для вычисления цены игры (оптимального гарантированного результата) в рамках принятой концепции был предложен метод стохастического программного синтеза [15, 18] и идейно связанный с ним метод выпуклых сверху оболочек [16, 19, 20]. В тоже время для многих задач минимаксного управления, в том числе, для задач с нетерминальным показателем качества процесса управления, когда следует учитывать информацию об истории этого процесса, остается ряд невыясненных вопросов. Прежде всего, это вопросы, связанные с построением и обоснованием процедур стохастического программного синтеза, а также вопросы, касающиеся прояснения взаимосвязи таких процедур с другими известными процедурами вычисления цены игры. Исследование названных проблем является целью представляемой работы.
Рассматривается следующая задача конфликтного управления. Динамическая система, подверженная воздействиям управления и неконтролируемой помехи описывается обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями. Ограничения на мгновенные воздействия управления и помехи носят геометрический характер. Промежуток времени процесса управления зафиксирован. Показатель качества выбран как функционал от реализации движения, типа некоторой нормы, оценивающей совокупность фазовых состояний системы, реализовавшихся в наперед заданные моменты времени. Такой показатель может быть задан изначально, либо такой функционал вводится в качестве аппроксимирующего для исходного показателя, который оценивает континуум значений фазовых состояний системы. Ставится задача об управлении, которое доставляет показателю качества оптимальный гарантированный результат. Подобная задача возникает, например, когда требуется в условиях неопределенно действующей помехи с гарантией провести движение объекта

При этом, в силу условия (г), соответствующая последовательность {га*^,в = 1,2,...} (4.5) сходится и имеет предел т$. Предельным переходом в (4.16) при я -4 ос, используя свойства непрерывности по т и однородности функции ДуДг*: ■), согласно (4.7), получаем оценку
н0е(г*,гоо, Д£.) + (/0,< е(г*, гс*, Д^)+
Т* Г*
+ Но/(гад, П(г)и°[т])с?т - Но / тт{тпо, В{т)и))<1т, (4.17)
Т* Т*
которая в силу (4.8), (4.9) дает неравенство (4.2) Тем самым установлена справедливость леммы 4.1 в первом случае.
Рассмотрим теперь второй случай. Доказательство здесь проводится по той же схеме со следующими изменениями. Прежде всего, как и в предыдущем случае остаются справедливы равенства (4.3) - (4.8). Условие (4.9) не требуется. Максимизирующей последовательности {1(5)(‘)) в = 1,2,...} (которая, согласно (г), отвечает вектору гид), теперь ставится в соответствие последовательность случайных векторных величин (1р)(-),з = 1,2,..
'<.)(') = ■ ■ • .®'м. “ЕЩЕ
!1'3)М = ;(1) Ю. 1 = д(т,),..8 = 1,2,... (4.18)
В рассматриваемом случае из (1.6) и (2.9) следует, что /г.(т*) + 1 = д{т,) = д{т*). Поэтому из (4.18) и (2.9), (2.10) для каждого в = 1,2,... вытекают равенства
ТОтДоО)) = 7П*(в)| (п)(!м(‘);6) = (4.19)
тп^О^О); Сь £) = т^)(1(8)(0; е;_1), У = 2,.. - Л (4.20)
при условии (4.11). Снова, учитывая определения е(г*, щ,, ДД (2.12) и (1(в)(-), й = 1,2,...} (4.18), а также правило взятия повторных математических ожиданий, и соотношения (4.11), (4.19) и (4.20), для любого номера в = 1,2,... получаем следующую цепочку соотношений
е(т*,гщ,ДД > к(т*,гщ, Д*Д|»(-)) =