Классификация интегрируемых краевых условий для нелинейных уравнений

• Автор: Вильданов, Алмаз Нафкатович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Нефтекамск
• Количество страниц: 90 с.

1 КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ
1.1 Определение интегрируемого краевого условия
1.2 Интегрируемые краевые условия
1.3 Интегрируемое краевое условие для уравнения Буссинеска
2 СИММЕТРИИ И ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
2.1 Высшие симметрии краевой задачи для уравнения Буссинеска
' 2.2 Интегралы движения уравнения Кортевега-де-Фриза на
полуоси
3 ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БУССИНЕСКА
4 ИНТЕГРИРУЕМЫЕ РЕДУКЦИИ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНЫХ ЦЕПОЧЕК УРАВНЕНИЙ
4.1 Постановка задачи
4.2 Периодическая цепочка Тоды
4.3 Краевые условия, совместные с симметриями периодической цепочки Тоды

4.4 Интегрируемое краевое условие для бесконечной цепочки Тоды
4.5 Дискретная модель Ландау-Лифшица
Список литературы

В последнее время большой интерес вызывают нелинейные уравнения в частных производных, интегрируемые методом обратной задачи рассеяния (МОЗР) [1]. В данном методе существенную роль играет представление интегрируемого уравнения
как условия совместности двух .линейных систем уравнений в частных производных первого порядка вида
с матричными коэффициентами U и V, зависящими от функций и, их,... и от комплексного параметра А. Идея использовать обратную задачу квантовой теории рассеяния для решения нелинейных уравнений в частных производных восходит к классической работе Гарднера, Грина, Крускала и Миуры "Метод для решения уравнения Кортевега-де-Фриза", опубликованной в 1967 году [2]. В становлении метода обратной задачи рассеяния важную роль сыграли следующие две работы: П.Лакса "Интегралы нелинейных эволюционных уравнений и уединенные волны", опубликованной в 1968 году [3], в которой были формализованы результаты работы [2] и введено понятие L — А пары Лакса, и работа
В.Е.Захарова и А.Б.Шабата "Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах" 1971 года [4], в которой были найдены новые примеры интегрируемых уравнений. В результате стало ясно, что понятие L — А пары не является специальным свойством уравнения Кортевега-де-Фриза, а применимо также и
Ut — G(u, UXj Uxxi ■ • • j 1hl)'
(1)
Ys = U{x,t,X)Y,
(2)
(3)

В заключение параграфа рассмотрим уравнение Каупа-Буссинеска (КБ):
71*4 = ^хх Т Р 'У'хххх £(74Х7Г )х
7г = щ + 1/2 еиРх. (121)
Это уравнение описывает в длинноволновом приближении (0 < е <С 1, 0 < р <С 1) продольные движения электронной плазмы в волноводе.
Система (121) может быть получена как условие совместности двух линейных уравнений
Ухх + РУ = о, У1 = ^дхУ ~ (2г/5Л + рф)ух р = Х2+4^2 + - г> д = -^их, г = ~{щ + |еи2х). (122)
Вводя в рассмотрение вектор К = (у, ух)т, преобразуем равенство (122) в систему вида (40), (41) с матрицами
и = ( / М, (123)
-А2 - 4^2 - гАд + г 0
^Ях 2г/ЗЛ - pq
2<1хх + (2 iPX + Pq)p -f дх
Теорема 1.6 Уравнение Каупа-Буссинеска (121) допускает в точкех — 0 интегрируемое краевое условие (в смысле определения 1.1), состоящее из двух равенств вида:
ихх=о = ъ= const, е2
Р 'U'xxx ~~ ^HfUx 7Хх|х==о = б* (125)
При выполнении краевого условия (125) уравнение (43) при х — 0 допускает точечную симметрию (44)> с функциями '2ipX + lb
0 2iph + Tib
, h = -Л.