Спектральный анализ некоторых классов операторов Штурма-Лиувилля с негладкими коэффициентами

• Автор: Бучаев, Яхья Гамидович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 133 с.

Введение.
При решении многих задач математической физики возникает необходимость исследования собственных значений и собственных функций дифференциальных операторов, а также проблема разложения произвольных функций в ряд (или интеграл) по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля.
Так, например, к такого рода вопросам приходят, применяя метод Фурье для нахождения решения дифференциальных уравнений в частных производных, удовлетворяющих начальным данным и краевым условиям.
Регулярный случай задачи Штурма-Лиувилля, соответствующий конечному отрезку и непрерывным коэффициентам уравнения, изучен сравнительно давно и обычно подробно излагается в руководствах по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям.
Особенно возрос интерес к проблеме спектрального анализа самосопряжённых дифференциальных операторов в последние десятилетия. Оказалось, что ряд важных случаев изучения -функции (одного из основных объектов, характеризующих поведение квантово-механической системы) сводится к спектральному анализу уравнения Штурма-Лиувилля
решения которого должны быть подчинены некоторым граничным условиям и нормировочному условию
/(у) = -у"(х) + д(х)у(х) = Лр(х)у(х), (а < х <Ь),
(0.1)
(0.2)

(в дальнейшем мы будем всегда предполагать, что весовая функция р(х) > 0, а функция q(x) - вещественнозначная).
Простейшими граничными условиями являются «условия закрепления»
у{а) = уф) = 0.
Спектральная задача (0.1)-(0.3) является классической, ей посвящена огромная литература. Отметим работы Штурма [88] и Лиувилля [79], а также цикл работ В.А.Стеклова [65]. В этих работах в предположении достаточной гладкости коэффициентов уравнения (0.1) и при выполнении условия 0 < т < р(х) < М было установлено:
1. Существует счётное множество собственных чисел Лп
спектральной задачи (0.1)-(0.3) с единственной предельной точкой
+ со;
2. Все собственные числа вещественны и при п —» +оо

jjpitjdt

3. Совокупность всех нормированных собственных функций спектральной задачи (0.1)-(0.3) равномерно ограничена, то есть 8иртах|мп(х)| < с0.
Заметим, что условие (0.6) позволяет, в частности, получить разложение произвольных функций в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям спектральной задачи (0.1)-(0.3).

Все эти результаты были получены, в основном, путём применения асимптотических методов исследования решений дифференциальных уравнений при большом значении Я» N, развитых Лиу-виллем [79], Биркгофом [75, 76] и Я.Д.Тамаркиным [67].
Резюмируя итоги этих работ, можно сделать вывод о том, что в случае достаточно гладких коэффициентов уравнения (0.1) и при выполнении условия (0.4), спектральные свойства задачи Штурма-Лиувилля качественно совпадают со спектральными свойствами простейшего оператора (q{x) = 0, р{х) = 1), рассмотренного ещё Фурье.
Этот же вывод остаётся в силе и для более общих граничных условий, лишь бы они обеспечивали самосопряжённость спектральной задачи. В XX столетии самосопряжённая спектральная задача Штурма-Лиувилля вновь привлекла внимание многочисленных исследователей [22], [50], [54]. Эта задача (и различные её обобщения, связанные прежде всего с рассмотрением бесконечного интервала (а, Ь) и обратными задачами спектрального анализа [40], [49]), была включена в спектральную теорию самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве, что позволило [40] снять классические условия гладкости на коэффициенты уравнения (0.1).
В частности, М.Г.Крейн [49] показал, что формула (0.5) сохраняется при весьма общих предположениях на весовую функцию р(х).
В.А.Ильин и Н.Йо [45] показали, что если р(х) = 1, д(х) е Ё{а,Ь), то для нормированных в 1} (а, Ъ) собственных функций любого самосопряжённого расширения минимального операто-

А-пс

А-%а
1+а — т 2 'к2
0п-1)

Вводя обозначение с1 = — , не зависящее от X, получим:

ф(Х)<
/ л
а (
с„-гР- 1- 7- — а
1 X2)
)

V х2 у
Заметим, что при достаточно больших X:

V X2 у Поэтому: