Поведение решений дифференциальных уравнений в неограниченных областях и в окрестности граничных точек

• Автор: Тедеев, Александр Федорович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 116 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I. Об Ьр граничных значениях решений эллиптических уравнений
в наглядных пространственных областях
1.1. Метрические соотношения, связывающие р -интеграл Лузина с нетангенциальной максимальной функцией
1.2. Метрические соотношения с мерой удовлетворяющей условию
(Ат). Оценка градиента
1.3. Существование некасательных граничных значений для решения
1.4. Существование - граничных значений для решения
1.5. Пример гармонической функции, не имеющей предел на границе... 61 Глава II. Оценки решений задачи Коши и задачи Коши-Дирихле в неограниченных областях
2.1. Локальные и нелокальные оценки решения
2.2. Зависимость решения задачи Коши дифференциального уравнения неньютоновской упругой фильтрации от параметра
2.3. Оценка решения задачи Коши-Дирихле для дифференциального уравнения быстрой диффузии в областях типа октанта
2.4. Зависимость решения задачи Коши-Дирихле от начальной
функции для уравнения быстрой диффузии
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Важными направлениями современной теории дифференциальных уравнений с частными производными являются качественное исследование решений краевых задач и вопросы существования граничных значений решений.
Для того чтобы обеспечить существование граничных значений даже гладких функций необходимо наложить на них довольно сильные ограничения. Однако, если рассматриваемая функция является решением некоторого дифференциального уравнения в частных производных, то для обеспечения существования граничных значений достаточно более слабых ограничений. Эти вопросы впервые были изучены для эллиптических уравнений в работе В.П. Михайлова [27]. В этой работе установлены необходимые и достаточные условия для того, чтобы решение эллиптического уравнения второго порядка в шаре (| х |< 1} имело предел в среднем на границе {| х|=1}. Позже эти результаты были перенесены В. П. Михайловым в работе [25] на класс более широких областей О., граница которых принадлежит классу С2. А именно, для обобщенных решений линейных уравнений второго порядка вида

~ Т (а.Лх)иХ')х , + 2 а.(х)их. +а(х)и = /(х) (1)
/,У=1 4 г J /=1
с вещественнозначными коэффициентами
ау - ад е С1 (0, а(х) еС(0,
г,7 = 1,2,..., А, при выполнении условия равномерной эллиптичности
к-Ч#|2<1аДх)^<ц|^|2, V> О

были установлены следующие утверждения:

Утверждение 1. Для того чтобы функция и(х), являющаяся решением из PV2'M: (О) уравнения (1), имела предел в среднем на границе 50, необходимо и достаточно, чтобы функция
M(ö)= ux)dS,

была ограниченной на множестве (О, S0 ].
Утверждение 2. Для того чтобы функция и(рс), являющаяся решением т joc (в) уравнения (1) имела предел в среднем на границе 50, необходимо и достаточно, чтобы функция | Du |2 г(х) была интегрируемой по Q, то есть
Jj Du |2 r{x)dx < со,

где г(х) — расстояние от точки х eQ до границы 50.
Обобщение приведенных результатов В. П. Михайлова шло в нескольких направлениях. В работах А.К. Гущина, В.П. Михайлова [9] и Ю.А. Михайлова [26] для более общего эллиптического уравнения второго порядка установлены необходимые и достаточные условия для того, чтобы решение эллиптического уравнения второго порядка в области, граница которой принадлежит классу C2(dQ), имело предел в Lp{ßQ), р> 1 на
граничной поверхности. Аналогичные результаты были установлены в работе И.М. Петрушко [30] для решений эллиптических уравнений в областях с ляпуновской границей, то есть для ограниченных областей О, таких что 50 е СиА, 0 < Я < 1. Наряду с изучением граничных значений в среднем для решений эллиптических уравнений второго порядка были изучены вопросы существования нетангенциальных пределов в точках границы области. В работе В.Ю. Шелепова [45] был развит метод, примененный в работе D.L Burkholder, R.F. Gundy [55] для изучения нетангенциальной максимальной функции и интеграла Лузина гармонической функции в полупространстве. Преимущество этого метода

| /; |< ув2Л2т(Ж).
При оценке X] будем вначале считать функцию ср(х) выпуклой. Тогда || (рхл || - матрица неотрицательно определенной квадратичной формы. Форма
же задаваемая матрицей || Ьк‘ ||, положительно определена. Поэтому справедливо неравенство
О<±ЬУЧХ1<± ь“<рхл, VgeW.
kj-i i-i
Отсюда выводим оценку

Я(2»„У # - вчг Я(1»,„ W -
W к,1=1 у к=
< ув2Х |(£<р cos(v,xk))da (1.43)

и, следовательно,
| J] |< уб2 X а~' (t(W).
Очевидно, в общем случае, когда ср = <р, - эта оценка справедлива с удвоенной константой у (которую мы обозначаем через у).
Заметим, что
a{dW)± < лД + а~2т(В), m(W) < m(Vr) = [a(7V + l)]~1m(.B)r’, и возьмем а0 так, чтобы при а > а0 выполнялось неравенство J2-J4 |-|У; |<[inf6А'+|'ЛЧ|(^)|у6|2Я2лг(/?).
Для таких а можно выбрать е),г0 столь малыми, что при г<г0 будет выполняться оценка
| J, | +1J31 +1 J | +1J6 | +...+1 Jg |< [mfbN^' (g)]ye2Xm(B).
Лемма 1.4 доказана.
Введем множества Е1 = <1/2} П Д (см. (1.23)),
£2=Кг<77Я}пД д = иг(х)пг;.

Справедливо следующее утверждение.