Редукция псевдодифференциальных операторов на некомпактном многообразии к псевдодифференциальным операторам на компактном многообразии удвоенной размерности

• Автор: Арутюнов, Андроник Арамович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 58 с.

Введение
Задача вычисления индекса эллиптических псевдодифференциальных операторов была впервые поставлена И.М. Гельфандом в 1960 году в работе [3]. В 1962 году была опубликована известная работа [16] в которой приведена формула Атьи-Зингера, позволяющая вычислять индекс эллиптического псевдодифференциального оператора на компактном многообразии через гомотопические инварианты. Однако, вычисление индекса эллиптических операторов на некомпактных многообразиях до сих пор является открытой задачей даже в случае, когда в роли многообразия выступает Ип.
Еще одним направлением развития задачи об изучении индекса эллиптических операторов является изучение нелокальных псевдодифференциальных операторов (ПДО со сдвигом). Как и в случае обычных псевдодифференциальных операторов (далее ПДО), есть большое количество весьма общих работ в которых вычисляется индекс для нелокальных псевдодифференциальных операторов на компактных многообразиях. Так в работе ([13], 1973) показана формула для вычисления индекса нелокальных ПДО с конечной группой сдвигов. В случаях более сложных групп отметим монографию ([8], 2008) в которой данная задача решается в случае когда действие группы изометрично, то есть сохраняет некоторую метрику на многообразии.
Есть работы в которых описываются узкие классы псевдодифференциальных операторов, действующих в пространстве Шварца. Так, в работе ([9], 1970) приведен случай ПДО, действующих в К" с символами, у которых все производные стремятся к нулю. В работе ([9], 1970) построена формула для индекса псевдодифференциальных операторов действующих на функциях, заданных в Кп. Однако, на изучаемые в работе ([9], 1970) символы накладываются обременительные ограничения, которые в настоящей работе не требуются.
Ранее классы биградуированных псевдодифференциальных операторов рассматривались в работах ([17], 2010), ([19], 2003), ([11], 2004). Авторы изучали вопрос фредгольмовости различных классов биграду-
ированных псевдодифференциальных операторов, однако формулы для индекса таких операторов, получено до настоящего времени не было.
Определенный в диссертации класс символов псевдодифференци-альных операторов, действующих в пространстве Шварца, являющийся для нас основным, определяется аналогично классу так называемых SG-операторов (см. ([17], 2010), ([19], 2003)). Класс интересующих нас символов состоит из бесконечно-дифференцируемых функций сг(х,£) удовлетворяющих при некоторых вещественных параметриах (mi, m2) и при всех мультииндексах а, /3 неравенству

< С„л(1 + |х|Г‘-Н(1 + |?|)ИД Vx,t

Класс таких символов мы будем обозначать через «STOl,m2(Rn х Rri), а па-РУ (т1> тг) будем называть обобщенным порядком роста символа. Псев-додифференциальные операторы действующие в пространстве Шварца m2(R” х Rn) мы будем называть би-градуированным операторами обобщенного порядка (mi,m2).
Как будет показано в диссертации, операторы с такими символами отождествляются с псевдодифференциальными операторами, действующими в пространстве гладких сечений некоторого расслоения тора Т2" удвоенной размерности. Это пространство M(R2n) можно также понимать как функциональное пространство состоящее из бесконечнодифференцируемых функций удовлетворяющих условию косопериодич-ности. А именно, бесконечно-дифференцируемая функция h(t, v) & С°°(R"x R") лежит в пространстве М(R2n) если для нее для всех (t, v) выполняются следующие условия

h(t + е, v) — h(t,v), h(t, v + е) = e~2mteh(t, v),

для всякого целочисленного вектора е G Z". Здесь и далее запись te обозначает скалярное произведение векторов t не.
Редукцию осуществляет преобразование А определяемое следующим

образом
(0.1)

Преобразование Л устанавливает изоморфизм между пространства-
Теорема 1. Ряд (0.1) сходится абсолютно. Пространство Шварца 5(11”) изоморфно пространству М(И2") относительно отображения Л. Обратное преобразование Л-1 задается по формуле
Теорема 1 была ранее приведена в одномерном случае в работе ([8], 2008).
Для отождествления псевдодифференциальных операторов на некомпактном многообразии и псевдодифференциальных операторов на компактном многообразии, отображения такого типа были впервые предложены для редукции операторных пространств С.П Новиковым (1960-е года, неопубликованное приватное сообщение). Ранее данное отобража-ние использовалось также в работе И.М. Гельфанда ([15], 1950) для доказательства теоремы о разложении в интеграл Фурье по собственным функциям. Также данное отображение используется в задачах усреднения (во всем пространстве), см. например работу ([14], 2005). В данных работах преобразование используется для редукции исходной задачи к более удобному виду, как в выражении (8) работы [14].
Теорема 1 позволяет отождествить классы псевдодифференциальных операторов. Пусть оператор А явлется ПДО с символом а(х, £) обобщенного порядка (ті,тг). Рассмотрим оператор А — АЛА“1, действующий в прострнастве М(К2”).
Теорема 2. Оператор А является псевдодифференциалъным оператором в пространстве М(К2п) с символом <т(|^ + щ£2)- Для любых 271-мерных мультииУідексов о — (04,0:2) и Р — (А> Р2), найдется такая
ми 5(Н”) и М(И2п).
(0.2)
зуя полученное выражение далее получаем
(27г)п Е f e~^2Vyf(u + Vy)S(^i — 2nu)dVy = uGZ"R"
(2.43)
= (2тг)" E
Умножая полученное выражение на сг(|^ + v,^) и применяя обратные преобразования Фурье получаем
+ в,&)(2тг)” г(Ь - 2тгч)^[/(^2 + и)] =

как и в выкладке (2.42) в силу локально конечности подынтегрального ряда, получаем далее
= Е -ЕД6 + и)] f е^*6(ф - 2тги)а(& + v,&)dfi =
ueZ" R"
= Jfr+v Е e2"utJ-[/(6 + u)]a(w + В,6) =

= Е [[^/(6+ u)M«+ «,&)] =

= E е24[Л[/(н + Ф)]] = Л[Л/].

Таким образом показано, что Л [Л/] = Л [Л/]. Значит функция Л/j лежит в пространстве М( R2") так как там лежит функция А [Л/]. И кроме того диаграмма (2.37) коммутативна. Поэтому M(R2n) действительно инвариантно относительно действия оператора Л при чем Л = А_1ЛА.
Проверим псевдодифференциальность оператора Л. Возьмем произвольные функции на торе ф,ф € Сэо(Т2г1). Пусть supp ф, supp ф С U,
^t Е ЛЛ6 + «)Ж& - 2тги)а(^ + v,&)