О некоторых классах точных решений нелинейных дифференциальных уравнений инвариантных относительно групп Евклида и Галилея

• Автор: Серова, Мария Михайловна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 123 c. : ил

ГЛАВА I. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО
ГРУППЫ ЕВКЛИДА
§ I. Об одном классе уравнений, инвариантных относил-»
тельно группы Ё
§ 2. Точные решения нелинейных уравнений типа
оИ + Р(и,а)и
«л
1°. Инварианты группы Е '
2°. Точные решения уравнения О'И+Л ЪСЫо=0,
3°. Нелинейное уравнение Дарбу
4°. О точных решениях уравнения иИ.+А&ЯрИ Ыо~0.
5°. Точные решения уравнения ри+Л '/ИсьисьЬС0:= 0.
§ 3. Линейное уравнение Дарбу
§ 4. Уравнение Буссинеска
Глава II. Галилеевски-инвариантные нелинейные уравнения
§ I. Уравнения, инвариантные относительно групп Галилея и Шредингера
§ 2. Инварианты группы О (4,3)
§ 3. Точные решения уравнения Гамильтона-Якоби
"Размножение" решений
Глава III. Уравнения газовой динамики
§ I. Одномерное изэнтропическое движение газа
1°. Симметрия одномерных уравнений газовой динамики.
2°. Общее решение в случае
§ 2. Точные решения многомерных уравнений газовой
динамики
§ 3. Симметрия уравнений, описывающих специальные
движения газа
§ 4. Точные решения уравнений газовой динамики в
случае изохорического движения
ЛИТЕРАТУРА
Большинство реальных физических процессов описывается с помощью нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Для нелинейных дифференциальных уравнений, при всем изобилии интересных фактов и многообразии остроумных способов их решения, не существует общих методов исследования. Это связано в первую очередь с тем, что к нелинейным дифференциальным уравнениям неприменим принцип суперпозиций, поскольку многообразие решений не является линейным.
В последнее время, в связи с открытием нового метода математической физики - метода обратной задачи теории рассеяния, удалось проклассифицировать большое количество нелинейных эволюционных уравнений, допускающих полное и точное аналитическое описание. Это сделано, в основном, только для нелинейных двумерных дифференциальных уравнений. Для нелинейных многомерных дифференциальных уравнений данный метод трудно эффективно реализовать.
В связи с этим особенно важно исследовать нелинейные многомерные дифференциальные уравнения. Для нелинейных уравнений даже правильная постановка классических задач связана с принципиальными трудностями, поэтому большое значение приобретает построение классов точных решений.
Задача отыскания решений как линейных так и нелинейных дифференциальных уравнений тесно связана с их групповыми свойствами. Еще более ста лет тому назад норвежский математик Софус Ли заложил основы группового анализа дифференциальных уравнений [53]» [64], [65]. Он же первый применил свою теорию для построения решений конкретных дифференциальных уравнений.

Глава II ГАЛИЛЕЕВ (Ж-ИНВАРИАНТНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Настоящая Глава IIосвящена исследованию дифференциальных уравнений в частных производных, инвариантных относительно алгебр Галилея и Шредингера. В ней найдены нелинейные дифференциальные уравнения, инвариантные относительно указанных алгебр, получены
гч
инварианты группы Галилея С помощью этих инвариантов
найдены классы точных решений уравнения Гамильтона-Якоби.
§ I. Уравнения, инвариантные относительно групп Галилея и Шредингера
Известно (см. [57]), что уравнение Гамильтона-Якоби
ио-> (2.1.1)
где и(ос.) , (Х.= (^вХ^яЛг..1С(п)=. (х0/&),т= сокёк , инвариантно относительно 21-мерной алгебры Ли. В [57] показано, что эта алгебра унитарно-эквивалентна конформной алгебре С&4) Примеры такой симметрии, в случае релятивистских уравнений уже известны в литературе (см. [62], 1бЗ]). В этих работах показано, что в преобразования группы инвариантности уравнения эйконала и уравнения Борна-Инфельда переменные 3& и 'ЬС входят равноправно, и таким образом образуют конформную группу О (4-, к} и расширенную группу Пуанкаре Р (±,£) в пространстве (рс1и)
Оказывается, что если с такой точки зрения посмотреть на