Типичность, предельное поведение и спектральные свойства динамических систем

• Автор: Тихонов, Сергей Викторович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 217 с. : ил.

Содержание
Введение

Некоторые соглашения по обозначениям

Глава 1. Типичность

§1.1. Исследуемые объекты: преобразования и действия групп . ... 29 §1.2. Индивидуальные свойства, примеры преобразований и действий 32 § 1.3. Разбиения пространства, связанные с действиями или преобразованиями: башни и раскрои

§1.4. Топологии и метрики

§1.5. Абстрактные теоремы о типичности, применение к пространствам со слабой топологией

Глава 2. Аппроксимация перемешивающими действиями в поводок-метрике

§2.1. Основная аппроксимационная конструкция

§2.2. Плотность орбит прямых произведений

§2.3. Аппроксимация неперемешивающих действий перемешивающими

Глава 3. Типичность перемешивающих действий
§3.1. Конструирование действия, близкого в поводок-метрике к пределу слабо сходящейся последовательности действий
§3.2. Аппроксимация перемешивающих преобразований неперемешивающими
§3.3. Аппроксимация перемешивающих Z,;-дeйcтвий неперемешивающими

§3.4. Типичные перемешивающие преобразования и действия
Глава 4. Кратность спектра
§4.1. Перемешивающие преобразования с однородным спектром . . .177 §4.2. Машина спектральных кратностей
Заключение
Предметный указатель
Список литературы
Введение
Актуальность темы исследования. Работа относится к эргодиче-ской теории динамических систем и групп преобразований, сохраняющих меру, к ее аппроксимационному направлению. С первых шагов эргодическая теория рассматривала как индивидуальные, так и типичные свойства преобразований (к вопросам, связанным с типичностью относится, например, так называемая эргодическая гипотеза Биркгофа). Классические работы Дж. Окстоби и С. Улама [37] (для гомеоморфизмов), В. А. Рохлина [73] и П.Халмоша [20] (для абстрактных сохраняющих меру преобразований) показали, что в вопросах типичности свойств динамических систем с инвариантной мерой эффективны слабая и равномерная аппроксимация периодическими преобразованиями: фактически, с помощью периодической аппроксимации, В. А. Рохлин показал, что типичность многих свойств следует из существования одного апериодического преобразования, обадающего этим свойством. Впрочем, для некоторых свойств такое редукции нет: например, решения вопросов о существовании квадратного корня и нетривиального фактора а также вопроса о вложении преобразования в поток потребовали дополнительных топологических инструментов. Что касается индивидуальных свойств преобразований, то и в этом направлении аппроксимационный подход оказался достаточно эффективным. Пионерскими здесь были работы А. М. Степина [94, 96] (в первой из работ решена проблема Колмогорова о групповом свойстве спектра) и А. М. Степина и А. Б. Катка [63, 64]: была показана, в частности, зависимость свойств преобразований от скорости, с которой их можно аппроксимировать периодическими, и решены многие имеющиеся к тому моменту вопросы. В дальнейшем аппроксимационный подход развивался в работах А. Б. Катка [24, 61], А. М. Степина[95, 44, 99, 100, 46, 103], Д. В. Аносова и А. Б. Катка[56], В. И. Ос.еледца[71, 72], С. А. Юзвинского[118], О. Н. Агеева

Более общий вопрос (также сформулированный Рохлиным) таков: какие наборы Мт могут быть у эргодических преобразований?
Прямые произведения пространств. Пусть xieJXt, (где J С Z) — конечное или счетное произведение единичных отрезков с тихоновской топологией. Элементами этого пространства фактически являются конечные или бесконечные последовательности {ж,}. Согласно общей теории пространств Лебега [75], пространство хг£хХг изоморфно X. Следовательно, любое преобразование Т на хге%Хг можно рассматривать как преобразование на X, выбрав подходящий изоморфизм. Легко заметить, что динамические свойства не зависят от выбранного изоморфизма между пространствами. Например, от этого выбора не зависит орбита преобразования.
Прямым произведением преобразований {Т,} с А называется преобразование хге2Тг : {хг} {Тгхг}. Прямое произведение перемешивающих
преобразований также является перемешивающим преобразованием.
1.2.2. Пространство Ад.
(/-действие Т называется свободным,, если
1-1 {ж | 3g G Q {е} : Т9х = х} = 0.
Свободность — аналог апериодичности для (/-действий.
Для некоторых групп (например, ZДКД из перемешивания следует свободность, для некоторых (например, Z х Z2) нет.
R-действия называются потоками. Одним из простейших примеров потоков является поток поворотов единичной окружности Т, то есть для аёК, имеем Тах — (:х + a) (modi).
Будем говорить, что набор (ffi,..., gn+i} С Q обертывает множество G, если g;lgj ф G при j ф г.