Изучение спектральных характеристик одной несамосопряженной задачи с негладкими коэффициентами

• Автор: Жвамер Карван Хама Фарадж
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 148 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава I. О непрерывной зависимости от весовой функции собственных значений, собственных функций задачи типа Т.Редже и асимптотическом поведении ее собственных значений

§ 1. Постановка задачи

§ 2. Непрерывная зависимость собственных чисел и собственных функций от суммируемой весовой функции задачи #0

§ 3. Лемма о множестве собственных значений

§ 4. Вспомогательное утверждение 1.4Л и теорема 1.4.1 и их доказательство

Глава II. Получение верхних оценок для нормированных собственных функций задачи Н0

§ 1. Верхние оценки для собственных функций задачи Я0

§ 2. Формулировка основной леммы 2.2.1 и доказательство

утверждения
§ 3. Вспомогательные утверждения 2.3.1 и 2.3.2 и их
доказательство
§ 4. Доказательство утверждений 2.4.1 и
§ 5. Доказательство основной леммы

Глава III. Изучение асимптотического поведения нормированных собственных функций задачи Я0 для различных промежуточных классов весовых функций
§ 1. Достижимость верхних оценок нормированными собственными функциями задачи Я0 в случае суммируемой весовой функции
§ 2. Асимптотическое поведение собственных функций задачи Я0 в случае непрерывной весовой функции
§3.0 возможной скорости роста нормированных собственных функций задачи Я0 для классов весовых функций, близких к весовым функциям из класса Гельдера
§ 4. О равномерной ограниченности нормированных собственных функций задачи Я0 в случае весовых функций, удовлетворяющих условию Липшица
Литература

Введение
Многочисленные проблемы теории колебаний пространственно-распределенных систем приводят к необходимости изучения собственных значений и соответствующих им собственных функций дифференциальных операторов, а также к вопросам, связанным с изучением различных функционалов от собственных чисел и собственных функций.
Особенно возрос интерес к проблеме спектрального анализа, когда выяснилось, что спектральный анализ самосопряженных дифференциальных операторов является основным математическим аппаратом при решении задач квантовой механики.
Как известно, многие задачи математической физики, механики, теории упругости, оптимального управления приводят к задаче изучения спектра дифференциальных операторов и разложения произвольной функции в ряд по собственным функциям такого оператора. Классические результаты в этом направлении принадлежат Ж. Лиувиллю [1], Ж. Штурму [2], В.А. Стеклову [3] - [4], Г.Д. Биркгофу [5] - [6], Я.Д. Тамаркину [7], М.Г. Крейну
[8]-[9].
Не меньшее значение имеет изучение и общих эллиптических операторов [10], [11] - [12], спектральных краевых задач для таких операторов при различных краевых условиях.
Хотя к настоящему времени многие спектральные задачи изучены довольно хорошо [13], [14], [15] и общую теорию их можно считать завершенной, однако непосредственное применение этой теории к конкретным задачам в ряде случаев затруднительно. Поэтому изучение таких задач представляет интерес. Кроме того, многие классические результаты получены при очень жестких ограничениях на гладкость коэффициентов, в

Утверждение 1.2.4. Если у(х,Л)~ решение задачи Коши (1.2.1)-(1.2.2), то у(х,Л) и у'(х,Л)- аналитические функции аргумента Л. Кроме того,
коэффициенты разложения в ряд Тейлора функции у + (очевидно,
у(а, Я + АЛ)
аналитической функции, если у(а, Л) ф 0 ) по степеням АЛ непрерывно зависят от весовой функции р(х) (норма L ).
Перейдем к доказательству теоремы 1.2.1. Возьмем некоторую весовую функцию р0(х), построим решение задачи 1.2.1 Коши (1.2.1)-(1.2.2) с параметрами х0 = 0, у{х 0) = 0, у'(х0) = 1 (обозначим решение через
у(х,Л,р0) = 0) и рассмотрим функцию z = уа,,р° _;д, сопоставляющую
у{а,Л,рй)
каждому числу из комплексной плоскости Я некоторое число из комплексной плоскости z. Плоскость Я будем называть первой плоскостью, а плоскость z второй.
Пусть Яо - собственное число задачи #0, соответствующее р0(х). Рассмотрим на первой плоскости круг К с центром в точке Яо и радиусом s (s из условия теоремы 1.2.1). На второй рассмотрим образ G этого круга. Если £ достаточно мало (очевидно, без потери общности е в условии теоремы мы можем считать малым), то функция - = г(Л)- аналитическая на всем круге К. Множество G замкнуто и ограничено и граница круга К отображается на границу G, а внутренность круга- на внутренность G.
Теперь на второй плоскости возьмем точку :0 - г(Яп) = у (а,о>Ро) и
у(а,Л0,р0)
рассмотрим круг К„ с центром в точке z0, полностью лежащий в открытой области G (т. е. во внутренности множества).