Необходимые условия оптимальности и теоремы существования оптимального управления в процессах, описываемых экстремально-дифференциальными уравнениями

• Автор: Агамалиев, Агамали Гулу оглы
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 125 c. : ил

СОДЕРЖАНКЕ

ГЛАВА I. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ФОРМЕ ПРИНЦИПА МАКСИМУМ ПОНТРЯГИНА В ПРОЦЕССАХ, ОПИСЫВАЕМЫХ ЭКСТРЕМАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ
УРАВНЕНИЯМИ

§ 1.1 Постановка задачи и вспомогательные факты

§ 1.2 Необходимые условия оптимальности для автономных и неавтономных систем с терминальным кри

терием качества типа максимума

§ 1.3 Минимизации интегральных функционалов

§ 1.Д Задача о мй-нймуме максимального отклонения

Глава II. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ТИПА НЕРАВЕНСТВ

§ 2.1 Необходимые условия оптимальности типа неравенств для задач с терминальным функционалом
типа максимума
§ 2.2 Процессы, описываемые экстремально-дифференциальными уравнениями, зависящими от параметра
§ 2.3 Минимизация интегральных критериев качества
§ 2.Д Процессы, описываемые экстремально-дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом
Глава III. СУЩЕСТВОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В ПРОЦЕССАХ, ОПИСЫВАЕМЫХ ЭКСТРЕМАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИ
АЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ
§ 3.1 Теорема существования оптимального управления
в задаче с.терминальным функционалом типа
максимума
§ 3.2 Существование оптимального управления в процессах, описываемых экстремально-дифференциальными уравнениями с негладким критерием качества типа Больца
Л И Т Е РА Т У РА

Одним из наиболее разработанных разделов математической теории оптимальных процессов является теория необходимых условий оптимальности, фундаментальным результатом которой является принцип максимума Л.С.Лонтрягина [бО].
Как известно, основные результаты в теории оптимальных процессов и, в частности, необходимые и достаточные условия оптимальности получены в предположении дифференцируемости по переменным состояния правых частей уравнений и функционала. Причем предположение о гладкости использовалось существенно и входило в формулировку конечных результатов.
Многочисленные задачи, возникающие, например, в космической навигации, при управлении производством, экономикой, при распределении ресурсов, в марковских процессах принятия решений и т.д. требуют разработки методов исследования задач оптимизации, которые пригодились бы при исследовании также и негладких систем.
К настоящему времени негладкие задачи изучены сравнительно мало из-за неприменимости известных методов. Поэтому представляет прикладное и практическое значение вывод необходимых условий оптимальности и исследование существования оптимального управления в негладких задачах.
Исследованию негладких задач управления посвящена работы [5-7,16,23-27,35-38,41,44,54,67,79,87,88] и др., в которых дая рассматриваемых задач получены различные необходимые условия оптимальности первого порядка. Главная трудность при выводе необходимых условий оптимальности для негладких задач опти-

мизации состоит в построении сопряженной системы. В этих работах вводом по разному понятия сопряженной системы получены необходимые условия оптимальности первого порядка типа принципа максимума.
В частности, негладкими являются задачи управления, связанные с экстремально-дифференциальными системами, возникающие в марковских процессах принятия решений; в задачах на узкие места, в экономических задачах и т.д.
Ясно, что необходимые условия оптимальности имеют содержательный смысл в том случае, когда оптимальное управление существует в заданном классе функций. Поэтому возникают вопросы изучения существования оптимальных управлений в различных системах.
Первые теоремы существования оптимальных управлений относятся к линейным задачам быстродействия и были установлены в работах Р.В.Гамкрелидэе[зз], Р.Веллмана, И.Гликсберга и О.Гросса[13]
Н.Н.Красовского [48] и др.
Отметим, что первая теорема существования оптимальных управлений применительно к нелинейным задачам принадлежит А.Ф.Филиппову [71]
Доказательству теорем существования в некоторых обыкновенных системах без предположения о выпуклости множества допустимых скоростей системы посвящены работы Л.Нейштадта [85] , Б.Т. Поляка [б1]
Для систем, описываемых экстремально-дифференциальными уравнениями условие выпуклости множества допустимых скоростей (условие Филиппова), вообще говоря, не выполняется из-за наличия операции максимума, поэтому методы доказательства теорем существования оптимального управления, связанные с условием

+ ^(Г) [| V-Упсг^І -у-кт~гг«(т)І] ±о (і.2.зв)
ПОЧТИ при всех Б Є [0,^ И ДЛЯ всех '117/0
Из (1.2.35) следует, что при п-> оо равномерно
ПО V . Если ИЗ (1.2.33) перейти К пределу при П-*оо , то получим

V]/ (Г) = - с + (г^Сб) Б;(5) ^С5) сі в (1.2.37)

Из последовательности
| улт, щ(г)|,
в силу ее ограниченности в Ьо=(о, і), можно выбрать подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторому измеримому вектору 1г(Т). Из условия (I.1.19) следует, что
ты (Ч,Д*СТ), ^(Х),и?*т) < кіх)<
й (1*(Т),<^сг),и4«;)
4 т.ах |€(<яДпиу*сииг*т)
Я, є К. и*сг), ^*сиш-*да)
Тогда последовательность |5аси)[равномерно сходится к некоторой функции 5СГ). Из (1.2.34), переходя к пределу при и_->°о получим {
Ъ СС) - | ЩІВ) Іі'(5) ум сІБ (1.2.38)

Кроме ТОГО, переходя В (1.2.36) К пределу при VI -9 СЮ , получаем, что для всех (I*(Г),^(Г),выполняется условие