Некоторые вопросы теории показателей Ляпунова

• Автор: Быков, Владимир Владиславович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 77 с.

Введение

Для заданного натурального числа п рассмотрим множество Sn уравнений

х = A(t)x, х € Rra, t G R+, (1)

с кусочно-непрерывными по t Е R+ = [0, оо) оператор-функциями А.

Пользуясь вольностью речи, всюду в дальнейшем будем отождествлять уравнение (1) с функцией A: R+ —> EndR”, фигурирующей в записи этого уравнения. Множество Sn наделим структурой линейного пространства с естественными для функций операциями сложения и умножения на действительные числа.
Через Мп обозначим подпространство тех уравнений из Sn. для которых соответствующая оператор-функция А ограничена на полупрямой R+.
Определение 1. Будем обозначать через топологическое пространство, получаемое введением в Sn равномерной топологии при помощи нормы

\А\= sup A{t),

<6 R+

где обозначено

|A(i)j = sup |A(i)x|, p|=i

x= Jxl + ... + х*, X = (x±
Через будем обозначать топологическое пространство, получаемое введением в Sn компактно-открытой топологии, задаваемой счетным набором полунорм
Pk(A) = sup |А(£)|, к = 0,1

Кроме того, теми же символами U и С условимся отметать топологические пространства, получаемые из подпространства j4n заданием в нем соответствующей индуцированной топологии.
Определение 2 [26, 17]. Показателями Ляпунова уравнения (1) называются числа
k{A) = inf Ш j In Х L (t, 0)|,
*—Уоо i
где к € {1
Определение 3. Для всякого функционала ip: Sn —> R обозначим через Тр минимальную полунепрерывную сверху мажоранту этого функционала в смысле равномерной топологии, т.е. функционал, определяемый в каждой точке A £ Sn равенством
Тр(А) = lim sup <д(А + С).
е°||С||<е
В докладе В. М. Миллионгцикова [27] был поставлен вопрос об одновременной достижимости всеми показателями Ляпунова своих минимальных полунепрерывных сверху мажорант во всякой окрестности данного уравнения A € S%.
На данный вопрос получен положительный ответ, а именно, доказана следующая
Теорема I (следствие 25). Для всякого уравнения A £ Sn и всякого е > 0 найдется уравнение В £ Sn, обладающее свойствами:
1) IIЛ - ВЦ < е;
2) Ak(B) = Afc(A) при всех к £ {1, .., га}.
Данный вопрос в случае пространства М.п решен ранее И. Н. Сергеевым [36] с использованием полученного в [35] выражения для величины
А(А) через семейство операторов Коши уравнения А.

Теорема I получена на основе формулируемой ниже более общей теоремы И.
Определение 4 [41]. Функционал р: $п —> R будем называть ограниченно-зависимым, если существует такой отрезок полупрямой R+, что для любой пары оператор-функций А, В G Sn, совпадающих на этом отрезке, выполнено равенство р{А) = р(В).
Определение 5. Функционал p:Sn —> R назовем, следуя [35], остаточным, если для каждой пары оператор-функций А, В G Sn, совпадающих на всей полупрямой R+, кроме, быть может, некоторого отрезка конечной длины; выполнено равенство <р(А) = <р{В).
Определение 6. Функционал р: Sn —» R назовем верхне-пределъным от семейства {ры}, к, I € N, если в каждой точке A G Sn имеет место представление
р{А) = inf sup fceN le N
Теорема II (теорема 24). Пусть {р}, г G N, — совокупность функционалов, каждый из которых является остаточным и верхне-пределъным от семейства ограниченно-зависимых функционалов. Тогда для любого уравнения A G Sn и любого е > 0 существует уравнение В G Sn, обладающее свойствами:
1) \А — В\ < е;
2) lim |B(t) - A(t)| = О
i—>00
3) ргВ) = <р(г)(А) для всех i G N.
В. М. Миллионщиковым получена [31] формула для показателей Ляпунова, из которой, в частности, следует, что они являются верхнепредельными функционалами от семейства ограниченно-зависимых (и даже непрерывных) функционалов. Таковыми являются также верхний особый показатель и верхний центральный показатель, как следует из
их определения [10] (см. также определение 8 ниже).

Доказательство. Определим семейство функций /р11+—>-К+, I Е N5 следующим образом: для всякого I Е N положим
№) = 1е~° te'R+.
Заметим, что £а = Ру, откуда имеем равенство
Д”(Д) - п(А + В), А е М„. (35)
Проверим, что семейство / Е 14, удовлетворяет условиям леммы 7. В самом деле, функции рассматриваемого семейства невозрастают, и для всякого / Е N справедлива цепочка
/,([*]) = /е-'М < = 1е°е-°г < те-** = /т(0, * £ я+,
где т Е N удовлетворяет неравенству
т > 1е°.
Применяя лемму 7 к (35), получаем требуемое. □
Применяя лемму 7 к экспоненциально убывающим возмущениям с произвольным показателем, получаем следующее
Следствие 19. Функционал &п М.п -> Н, определяемый в каждой точке А Е п. формулой
Д"(4) = ЫК(А + В),
где £ — множество оператор-функций В, каждая из которых при некоторых С > 0 и а > 0 удовлетворяет неравенству
|В(£)| < Се_С7<, £ Е К+,
является верхне-пределъным от семейства непрерывных функционалов
и, следовательно (см. лемму 1), принадлежит второму классу Бэра.