Сингулярные эллиптические краевые задачи в областях с угловыми точками

• Автор: Киселевская, Светлана Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Владивосток
• Количество страниц: 101 с. : ил.

ГЛАВА 1. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ПЛОСКИХ ОБЛАСТЯХ

С УГЛОВБІМИ ТОЧКАМИ

ф 1.1. Операторы преобразования

1.2. Функциональные пространства (одномерный случай)

1.3. Функциональные пространства (двумерный случай)

1.4. Теоремы о следах

1.5. Краевая задача

ф ГЛАВА 2. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ОБЛАСТЯХ НА КОНУСЕ

2.1. Некоторые определения и обозначения

2.2. Определение пространств и теоремы вложения

2.3. Прямая и обратная теоремы о а-следах

2.4. Краевая задача на конусе
ГЛАВА 3. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО НЕОДНОРОДНОГО
МЕТАГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
3.1. Пространства Мд(П) и обобщённые
® гармонические функции
3.2. Вспомогательные результаты
3.3. Краевая задача
ЛИТЕРАТУРА

Актуальность проблемы (работы). В последние десятилетия построена общая теория эллиптических задач в областях, границы которых содержат особенности - углы, конические точки, рёбра и т.д. Эта теория имеет широкие и важные приложения в физике, в механике сплошных сред, в частности, в теории трещин. Одной из первых и основополагающих работ ® здесь является работа В.А. Кондратьева [32]. В монографии С.А. Назарова,
Б.А. Пламеневского [45] дано подробное изложение главных разделов теории эллиптических задач в областях с кусочно гладкой границей. Эллиптическим уравнениям второго порядка посвящён ряд работ, среди которых отметим работы Д. Гилбарга, Н. Трудингера [6], Т.Р. Мамтиева [37], А.К. Гущина,
В.П. Михайлова [9], В.Н. Масленниковой [39], Ю.А. Алхутова и В.А. Кондратьева [1], В.А. Козлова, В.Г. Мазьи [54]. Отдельно отметим серию работ 9 опубликованных М. Костебелем, М. Доуж и другими (см. [55] и ссылки там),
в которых рассматриваются как общие эллиптические системы, так и некоторые прикладные задачи электро- и гидростатики. Рассмотренные ими особенности решений нами считаются слабыми и в рамках данной диссертации будут относится к регулярным.
В случае сильного вырождения уравнение имеет не только ограниченные решения, но и неограниченные (сингулярные) вблизи характеристической части границы решения. Такие задачи для гиперболических уравнений изучались Т.Н. Кигурадзе [31], [46], а для эллиптических уравнений В.П. Глушко,
H.A. Ярцевой [7], P.M. Гобеджшвили [8]. Для уравнений математической фи-ф зики соответствующие факты приведены в книгах А.Н. Тихонова, A.A
марского [50], С.Л. Соболева [49], O.A. Ладыженской [33]. В работе [10] изложена теория разрешимости задач для эллиптического уравнения, в которых значения решения на границе рассматриваемой области выражаются через его значения во внутренних точках и других точках границы. В работах Г.А. Чечкина [53] и Л.Г. Михайлова [42] изучены краевые задачи с различными условиями на малых участках границы. В частности, в [53] рассматрива-Ф ется задача ДгР + /=0, «£|г = 0, исследуется поведение решений задачи при
стремлении параметра, характеризующего период изменения типа граничных условий, к нулю и даётся оценка этих решений. Во всех цитированных и других работах этого направления в основном рассматриваются решения с особенностями не более чем степенного или логарифмического характера.
Решения эллиптических задач могут терять гладкость в особых точках. Это обстоятельство играет важную роль: возникают вопросы о поведении решений вблизи особых точек, о выборе специальных функциональных про-

странств, в которых порождённый краевой задачей оператор обладает "хо-рошими"свойствами (оказывается непрерывным). Поэтому постановка и изучение новых краевых задач для уравнений с сильным вырождением в соответствующих им функциональных пространствах, а также создание эффективных методов их решения является актуальным.
Цель работы состоит в доказательстве теорем об однозначной и непре-рывной разрешимости поставленных краевых задач. А именно, сингулярной краевой задачи в плоских областях с угловыми точками и краевой задачи в областях на конусе, а также сингулярных краевых задач для уравнений высших порядков.
Научная новизна. В работе вводится новое понятие в определённом смысле нелокального сигма-следа (<7-следа) функции. Так как в данном случае невозможно использовать теорию известных ранее функциональных пространств, то в диссертации вводятся новые функциональные простран-® ства типа Фреше (счётно-нормируемые) в которые вложены пространства
Соболева-Никольского-Бесова, (последние подробно описаны, например, в работах С.Л Соболева [48], Д. Гилбарга, М.Трудингера [б], В.П. Михайлова [41], O.A. Ладыженской [33] и во многих других). Известные весовые функциональные пространства обычно обладают тем свойством, что порядок особенности функций из этих пространств зависит от показателя гладкости и убывает с возрастанием гладкости. Последнее обстоятельство для рассматриваемого случая неприемлемо. Особо отметим, что в диссертации впервые рассмотрены сверхстепенные сингулярности решений, а в некоторых случаях (например, для метагармонической функции) сингулярности в угловой (особой) 9 точке являются совершенно произвольными особенностями (типа существенных особенностей голоморфных функций, определяемых всей сингулярной частью ряда Лорана). Для изолированных граничных точек аналогичные решения рассматривались ранее в работах В.В. Катрахова [30].
Практическая значимость работы. В задачах механики твёрдого тела наблюдается концентрация напряжений в угловых (особых) точках границы, в частности, в вершинах трещин. Аналогичным образом дело обсто-ф ит и в гидродинамических задачах. Это приводит к сингулярности решения в особых точках. В такой ситуации обычно рассматривают так называемые энергетические решения, имеющие наиболее слабую сингулярность. В настоящей работе рассматриваются решения с сингулярностью произвольного порядка, относящиеся к классу неэнергетических решений, введённому Н.Ф. Морозовым [40], в этой связи некоторые вопросы механики сплошных сред также были рассмотрены Н.С. Зориным, A.B. Мовчаном,
С.А. Назаровым [11], В.Н. Власовым [4]. Проблема, поставленная в работе,

при дополнительном условии периодичности с периодом Ф (условие П) по угловой переменной ср всех участвующих в этой задаче функций - это по сути дела есть краевое условие на частях границы О', (7". Понятие сигма-следа (7и|^ и смысл условия П будут разъяснены в процессе дальнейших построений.

2.2. Определение пространств и теоремы вложения
Здесь потребуются два класса функциональных пространств, условно называемыми нами сингулярными и регулярными. В сингулярные пространства будут входить функции с сильными особенностями в особой точке, а в регу-лярные - со слабыми (т.е., условно говоря, регулярными) особенностями. Эти пространства будут последовательно исследованы в одномерной и двумерной ситуации на базе разработанной ранее теории операторов преобразования.
Сначала рассмотрим класс регулярных пространств.
Введём функцию гладкой срезки х(г), г ^ 0, - бесконечно дифференцируемую функцию, равную 1 при 0 ^ г ^ 1 и нулю при г ^ 2, и положим
хЛг) = х{г/Щ.
Обозначим через Я£0С(Г2<^) пространство, состоящее из функций / таких, что при любом ЯЕ (0, Я0) функция (1 — Хв)} будет принадлежать пространству Я£(П).
Здесь и далее символ Я£(= ИД) обозначает пространство Соболева-Ни-кольского-Бесова.
9 Наделим пространство ЯД (И) топологией, определяемой семейством полунорм
«Лк^рЩ/НД-хДЛМп), (2-2.1)
О < Я < Я0. Данная топология превращает ЯД (И) в полное топологическое векторное пространство. Функций из пространства ЯД (О) вне любой