Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными производными

• Автор: Уткина, Елена Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 263 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение

Глава I. Задача Гурса

§1. Случай уравнения с дифференцированием лишь по одной переменной.

§2. Уравнение с дифференцированием по двум переменным

§3. Случай трех переменных

§4. Общий случай

§5.Теорема существования и единственности

5.1. Вспомогательная формула: интегральный аналог формулы Лейбница

5.2. Применение принципа сжимающих отображений

Глава II. Повышение порядка нормальных производных в
граничных условиях
§ 1. Задача с повышением порядка на единицу (Г,)
1.1. Изучение случая, связанного с одной характеристикой
1.1.1. Редукция к задаче Гурса
1.1.2. Случаи решения в явном виде
1.2. Результаты для остающихся характеристик
1.3. Варианты с парами характеристик
1.4. Одновременное участие трех характеристик
1.5. Разъяснения для п =
1.6. Общий случай задачи
§2. Увеличение порядка производных до произвольного натурального N
Глава III. Задача Дирихле и нелокальные задачи
§ 1. Задача Дирихле
1.1. Плоский случай
1.2. Пространственная задача
§ 2. Задачи со смещениями в граничных условиях
2.1. Для двух независимых переменных
2.1.1. Задача для уравнения третьего порядка

2.1.2. Случай четвертого порядка
2.2. Случай пространства размерности п>
Глава IV. Уравнения с сингулярными коэффициентами
§ 1. Случай двух измерений
1.1. Уравнение типа Аллера. Общая методика построения каскада
1.2. Аналоги уравнения Эйлера-Пуассона - Дарбу
1.3. Задача Гурса
1.4. Повышение порядка производных в граничных условиях
§ 2. Трехмерное пространство
2.1. Случай некратного дифференцирования
2.2. Случай наиболее общего уравнения в трехмерном пространстве
§3. Случай общего уравнения в и-мерном пространстве
§4. Задачи Ti
4.1. Задачи для уравнения четвертого порядка
Литература
Приложение: программа
программа
Введение

Отличительный признак рассматриваемых в настоящей диссертации уравнений - наличие старшей частной производной: все остальные производные, входящие в уравнение, получаются отбрасыванием от нее по крайней мере одного дифференцирования. Поэтому они называются [40] уравнениями со старшими частными производными. С точки зрения указанного признака можно считать класс изучаемых уравнений наиболее близким к обыкновенным дифференциальным уравнениям, поскольку для последних упомянутый признак всегда имеет место.
Здесь речь идет о линейных уравнениях, разрешенных относительно старшей частной производной, то есть об уравнениях
I М. (Л
Р<тф*т иХ
где х = (х,,х2,...,хп) - декартовы координаты, т = (т1,т2...,тп), а ащт^ = 1.
Исследуются задачи об отыскании решений уравнений (1) в областях, ограниченных характеристическими плоскостями хк = const по краевым условиям, задаваемым на этих плоскостях (характеристические задачи-[6,с.174]).
Систематическое изучение уравнения (1) было начато еще в конце 19 века с наиболее простого его варианта, когда дифференцирование по всем переменным является некратным: mt= 1, i = ,n. Первые работы были выполнены Л.Бианки и О.Никколетти [159], [191], предложившими в 1895г. вариант распространения на это уравнение метода решения задачи Коши, разработанного в свое время Б.Риманом для уравнения
+ а(х, у)их + b(x, у)иу + с(х, у)и = /(х, у). (2)
В 20 веке исследования были продолжены в исследованиях Г.Бейтмена [160], Е.Лаэ [182], М.КФаге [94] - [96], В.Ф.Волкодавова с учениками [12]-[15], О.М.Джохадзе [22], [23] и др.. В частности, в статье [160] это уравнение

и(х,у) = <р0(у)■• 1 + ] [л#(х0, у, £) -ах(у)л(х0, у, [ +

+ ^0;)| &{хй’У*£№% = Ч>оЬ)-у- I I ЛоО'Ж^о.У»^)*!<*[ +
*0 I *0 *
+ <Р (л) I я(х0,у,$№.

Найдем функцию Римана, уравнение для которой в данном случае есть ряд

НХ>У)= Ё ¥к(х>у)’ гДе У0=1, Ух{х,у) = | я(х,/,у)Л,

у2 (х> у) = I я(х> тЖ (А у)Ж» причем Я(х, /, у) = а, (у) - (х - /)йГ0 (у).

Таким образом,
оо« ^ л+£
2 (-1)‘с.‘0г‘(уК(у)ЯД ■
«=0 4=0 (Л + Л/
Положим а[(у)= Я,(у)+Я2(у), а0 (у) = ^ (у) • /Ц (у). В случае, когда Я,(у)*Я2(у), получим
Цх,у,х0)- /_2(у)~- Я, (,) • (Ы5)
где /1^ (г) — —П—г/ 7'^ оСу) ^ Поменяем в (1.13) л и до местами:
■ -Лг(у)е-^Х.~.)+Я1(у)е-Я№-т,
(°'у")_ чйчМ
и подставим в (1.13). Непосредственные вычисления показывают, что
и(х,у) = Сх(у)-е-^х+С2(у)-е~^х, (1.16)
/г лл _ -^о(тЖЫ-^(т) г лд_
^^ЛЫ-^ЫЖ^’ Л ) (Ш-ШУШхо'
Пусть теперь Я, (у) = Я2 (у). Тогда функция Римана есть:
Я{х,у,х0) = ел' Ы(х“*°] [1 + (х - х0 )ЯХ (у)].