Управляемость и устойчивость систем дифференциально-алгебраических уравнений

• Автор: Петренко, Павел Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 134 с.

Оглавление
Введение

1 Эквивалентная структурная форма

1.1 Эквивалентная форма для линейных ДАУ

1.2 Эквивалентная форма для нелинейных ДАУ

1.3 Сопряженная система

1.3.1 Эквивалентная форма

1.3.2 Разрешимость

2 Линейные системы

2.1 Д-управлясмость и Я-иаблюдасмоеть

2.1.1 Определения

2.1.2 Критерии Д-наблюдаемоети и Д-управляемости
2.1.3 О взаимосвязи свойств Д-управляемости и Д-наблюдаемости
2.2 Стабилизирусмость линейных ДАУ с векторным управлением . .
2.3 Дстсктирусмость
2.4 Приводимость дифференциально-алгебраических уравнений
2.5 Правильные системы
3 Нелинейные системы
3.1 Локальная Я-управляемость в ноль
3.2 Локальная Д-паблюдаемость
3.3 Стабилизирусмость по линейному приближению
3.3.1 Вспомогательные сведения
3.3.2 Условия стабилизируемое
3.4 Устойчивость нелинейных систем по первому приближению
Заключение
Литература

Введение
Актуальность темы и объект исследования.
В работе рассматриваются управляемые системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) вида
F(t,x(t),x'(t),u(t)) = 0, tel = [0,+00), (0.1)
не разрешенные относительно производной искомой вектор-функции х : I -» R" и тождественно вырожденные в области определения:
dF(t. х. у. и)
ctet Ц = 0.

Исследуются качественные свойства таких систем как в нелинейной постановке (0.1), так и в линейном случае
A(t)xt) + B(t)x(t) + U(t)u(t) = 0, detA(l) = 0, t G /, (0.2)
где A(t), B(t) — заданные (пхп)-матрицы, U(t) — заданная матрица размеров п х l, u(t) — /-мерная функция управления.
В литературе для обозначения систем такого рода использовалось множество названий: алгебро-дифференциальные системы [50, 52, 57]. сингулярные системы [4, 74, 81], системы ОДУ, неразрешенные относительно производных [53], вырожденные [3, 85], неявные [73] или полуявные [62, 72], дескрипторные системы [71, 115] и другие. В настоящее время в англоязычной литературе термин ‘'дифференциально-алгебраические уравнения (ДАУ)” потеснил другие названия

Введение
и вошел в AMS Subject Classification. В диссертации используется именно этот термин для обозначения объекта исследований.
Рост интереса к исследованиям в области систем ДАУ стимулируется проблемами математического моделирования во многих прикладных областях: теории автоматического регулирования, оптимальном управлении со смешанными ограничениями, теории электронных схем и электрических цепей, механике, химической кинетике, гидродинамике и теплотехнике [3-5, 22, 26, 38, 52, 81].
Диссертация посвящена исследованию качественных свойств систем ДАУ. Получены условия А-управляемости, А-иаблюдаемости, устойчивости и стабилизируемое для ДАУ (0.1), (0.2), а для линейных систем также условия детектируемое, правильности и приводимости.
По своим свойствам ДАУ существенно отличаются от систем ОДУ, разрешенных относительно производной (в нормальной форме). Решение ДАУ зависит от производных входных данных вплоть до порядка, совпадающего с размерностью системы. В общем случае отсутствует непрерывная зависимость решений от входных данных, а пространство решений может оказаться бесконечномерным. Неоднородная система может быть несовместна на своей области определения. Структура пучка матриц Якоби, описывающих систему, не инвариантна относительно преобразований, использующих замену переменных. Эта специфика обусловливает не только необходимость поиска принципиально новых теоретических подходов, но и переосмысления многих базовых понятий классической теории ОДУ, таких как устойчивость, управляемость, наблюдаемость и т.п.
В теории ДАУ одной из важнейших характеристик, отражающей меру неразрешенное системы относительно производной, является индекс неразрешенное. Сравнительный анализ различных определений индекса приведен, в частности, в книге [50].
S.L. Campbell сформулировал понятие индекса ДАУ, связанное
1.3. Сопряженная система
2) rank DT'Z(t) — р = const Vi Є I;
3) в матрице DTtX(t) имеется разрешающий минор.
Тогда с помощью замены переменной
z(t) = -Д$(:t)z{t) + ^{Rj(t)z{t)) + ... + (-l)r+1 {Rj(t)z(t))
(1.3.3)
( —En~d Jj(t)
и умнооісения слева на матрицу I ^ Е ) ' сист,ема
(1.3.1), (1.3.2) преобразуется к виду
zi(t) ~ ЛТ(t)zi(t) + Ciit)u{t) = 0, (1.3.4)
z2(t) + C2(t)u{t) = 0, (1.3.5)
y(t) = UT(t) (I) , tel, (1.3.6)
где Rj(t) Є C1(I) (j = 0, r) — коэффициенты onepam.opa 1Z из леммы 1.1, Qi — матрица перестановок строк из (1.1.9);
Cl(t) _ ( ~En-d Jj{t) (Q-l)TCTtyt (1 3 7)
С2{1) ) О ЕЛ
( 2.1(1) ) ~ вектор-функции г(Ь) и г2(1) имеют размерности п — д ид соответственно; матрицы Л(^) находятся из
соотношения (1.1.12).
Доказательство. Из леммы 1.1 следует, что для коэффициентов системы (1.1.1). (1.1.2) и коэффициентов оператора. Д справедливо тождество
(До (г) ■■■ Дг(£)) А^)^^1,...,^1} =
.12{1) ЕЛ О О ... О Д{1) О Еп-& О