О позитивной обратимости одной разнопорядковой краевой задачи на графе

• Автор: Перловская, Татьяна Витальевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 103 с. : ил.

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОБЩИЕ ФАКТЫ

§ 1.1. ОБОСНОВАНИЕ ЗАДАЧИ

1.1.1. Основные понятия

1.1.2. Вариационное обоснование задачи

1.1.3. Условия трансмиссии

§ 1.2. КОРРЕКТНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1.2.1. Постановка задачи

1.2.2. Невырожденность задачи

1.2.3. Корректность

§ 1.3. ФУНКЦИЯ ГРИНА

1.3.1. Существование функции Грина

1.3.2. Основные свойства функции Грина
ГЛАВА 2. ЗНАКОРЕГУЛЯРНЫЕ СВОЙСТВА ЗАДАЧИ § 2.1. ПОЗИТИВНАЯ ОБРАТИМОСТЬ ЗАДАЧИ
§ 2.2. ЗНАКОРЕГУЛЯРНОСТЬ ФУНКЦИИ ГРИНА
2.2.1. Отсутствие внутренних нулей
2.2.2. Простота нулей на границе
§23. СВОЙСТВА ПОЗИТИВНОГО СПЕКТРА
2.3.1. Теорема о главном собственном значении
2.3.2. Теорема о собственной ветви для задачи с вогнутой нелинейностью
2.3.3. Знакорегулярные оценки функции Грина
2.3.4. Вспомогательные фрагменты из теории конусов
2.3.5. Завершение доказательства теорем 2.3.1 и 2.3.2
ЛИТЕРАТУРА
Обыкновенные дифференциальные уравнения на графах - новое научное направление, возникшее около двух десятилетий назад и привлекшее активный интерес многих исследователей во всем мире. Качественный анализ краевых задач с внутренними особенностями начался уже в 30-е годы XX в. в работах М.Г. Крейна и Ф.Р. Гантмахера, изучивших гармонические колебания многоопорной балки. И хотя свое зарождение теория краевых задач ведет от работ JI. Эйлера, математической моделью у Г антмахера — Крейна служило интегральное уравнение, порождаемое
функцией влияния, а классическое уравнение прогиба стержня
(EJ и")" = f (0.1)
выступало лишь как локальный ( между опорами ) фрагмент,
использовавшийся как вспомогательная информация при анализе формы прогиба. С помощью достаточно тонкой теории ядер Келлога для
многоопорного стержня (заодно с обычным) удалось объяснить математическую природу гармонических свойств спектра собственных колебаний. С этих результатов началась геометрическая теория М.Г. Крейна пространств с конусами и осцилляционная спектральная теория, как развитие теории Штурма-Лиувиля. Для двухточечных краевых задач завершающие результаты подобного типа были получены в работах С. Карлина, А.Ю. Левина, Г.Д. Степанова и др.
Нестандартный характер задачи о многоопорном стержне, связанный с внутренними особенностями соответствующих решений уравнения (0.1), стали предметом анализа в работах Ю.В. Покорного ( 70-80 годы ),

изучавшего многоточечные краевые задачи с дефектами гладкости решений. В этой связи следует отметить работы В.Я. Дерра. Методы Ю.В. Покорного нашли развитие при анализе математической модели цепочки упруго-сочлененных континуумов, а затем - на нестандартных задачах, возникающих при описании сетеобразных систем.
С начала 80-х годов спонтанно в разных странах началось активное изучение дифференциальных уравнений на геометрических графах (метрических сетях), породившее многие сотни работ [18, 30, 40, 41, 42, 46, 51, 53, 54, 56, 59]. Наиболее изученными здесь оказываются уравнения 2-го порядка. Воронежское направление характеризуется развитием идей и методов М.Г. Крейна и М.А. Красносельского применительно к знакорегулярным свойствам линейных и нелинейных краевых задач, связанных со знакопостоянством и специальными оценками функции Грина. В 90-е годы начали появляться работы для уравнений 4-го порядка на графах, связанные с описанием решеток из стержней ( Ю.ВЛокорный, Р. Мустафокулов, A.B. Боровских [15, 33, 36] ). Несколько лет назад появились работы для разнопорядковых задач на графах, где на разных ребрах задавались уравнения четвертого и второго порядков. Детальному анализу здесь подвергнут случай простого креста и элементарный случай простейшего присутствия цикла ( Ю.В. Покорный, Т.В. Белоглазова, К.П. Лазарев [38]).
Следует отметить, что даже в случае уже основательно изученной задачи Штурма-Лиувиля на графе присутствие цикла влечет нарушение ряда основополагающих свойств — от простоты точек спектра до корректности самой задачи. Поэтому для разнопорядкового уравнения наличие у графа хотя бы даже одного цикла означало присутствие принципиально новой трудности в условиях полного отсутствия каких-либо стандартных наработок.

чтоу(х) не возрастает на (а,, г) и не убывает на (г,а,+|) имея на концах а„ам нули. Значит, у(х) <0 на каждом сегменте у, . Поэтому и" < 0 на любом у,.
Рассмотрим сегмент ух. Вторая производная и" < 0. Тогда и' убывает на у1 и, в силу того, что и'(0) = 0, имеем на сегменте у1 отрицательную производную и'(х). Это означает, что на ух функция и(х) оказывается убывающей и, в силу условия закрепления и(0) = 0, имеем и(х) < 0 на сегменте У. Но по теореме 2.1 решение г(х) неотрицательное. Следовательно, на границе нижнего континуума и'(0) Ф 0. Аналогично доказывается, что и’(1) Ф 0.
Лемма 2.5 Функция г(х) не имеет нулей внутри Г.
Доказательство. Предположим противное. Пусть внутри Г есть нули функции г(х). Множество всех этих нулей есть замкнутое множество. Тогда множество всех остальных точек открытое и состоит из объединения связных открытых подмножеств. Так как на границе Г функция г(х) = 0 и г'(х) Ф О, то каждая граничная точка принадлежит одному из этих подмножеств.
Рассмотрим открытое множество, максимальное по вложению, где г(х) Ф 0. Если оно не совпадает со всем Г, то существует граничная точка, лежащая внутри Г. Пусть граничная точка £ лежит на горизонтальной струне, т.е. £ є к і и г(£) = 0. Точка £ оказывается точкой минимума и, так как в окрестности этой точки функция неотрицательная, то г'(£) = 0. Для всех х < £ функция г(х) Ф 0. На верхних горизонтальных сегментах к, имеем -(цг)' > 0, т.е. (цг'У < 0. Значит, на этих сегментах производная (дг)(х) убывает. Так как г'(%) - 0, то (цг)(х) < 0 при х> Е,. Это означает, что функция г(х) убывает и так как г(£) = 0, то г(х) < 0 при х > Но по