Уравнение эволюции невыпуклых множеств в задаче достижимости и управление потоками

• Автор: Мазуренко, Станислав Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 86 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Динамическое программирование в линейных системах с состояниями в виде распределений

1.1 Постановка задачи в общем случае

1.2 Преобразование плотности

1.3 Принцип оптимальности. Уравнение типа Гамильтона-Якоби-Беллмана

1.4 Линейный случай

1.4.1 Квадратичный функционал для линейных систем

1.4.2 Примеры

1.5 Общий случай интегрального функционала

1.6 Применимость метода

2 Звездные множества достижимости. Дифференциальное уравнение для калибровочной функции
2.1 Линейные системы. Выпуклый и звездный случаи
2.1.1 Выпуклый случай
2.1.2 Звездный случай
2.2 Звездные множества. Эволюционное уравнение
2.3 Калибровочные функции
2.4 Уравнение в частных производных для калибровочной функции множества достижимости
2.5 Фазовые ограничения
2.6 Случай движущегося центра звезды
3 Звездные множества в рамках гамильтонова формализма
3.1 Уравнение ГамильтонаЯкоби-Веллмана для нахождения множества достижимости

3.2 Калибровочная функция в рамках гамильтонова формализма
3.3 Пример с двумерной линейной системой
Заключение
Список литературы

Введение
Задачи управления и оптимизации ставились исследователями с давних пор, однако активное изучение этих задач началось в ЗОх - 40х годах прошлого столетня. Современная проблематика теории управления затрагивает многие научные области: разработка систем автоматизации и роботостроения, управления процессами в физике, биологии, моделирование экономических процессов и т.д.
Толчок к развитию математической теории процессов управления был получен благодаря результатам академика Л.С. Понтрягина и его сотрудников: В.Г. Болтянского, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко, а следом за ними и других исследователей. В частности, были выведены необходимые условия оптимальности для функционалов различного вида, получившие название Принципа максимума Понтрягина [1]. Примерно в те же годы Р. Веллманом был создан метод динамического программирования для решения задач синтеза управления в терминах гамильтонова формализма, а также получены достаточные условия оптимальности [2].
С тех пор круг задач, к которым применимы результаты теории управления, ровно как и методы решения таких задач, стремительно расширялся. Н. Н. Красовскпй активно занимался решением задач синтеза управления для различных классов возмущений в динамических уравнениях. Им и его сотрудниками были исследованы основные свойства систем с неопределенностями и их разнообразные приложения [3],[4]. Р. Калман исследовал вопросы фильтрации и предсказания поведения динамических процессов в рамках вероятностных моделей, а также ввел понятия наблюдаемости и управляемости [5]. Широкий класс подобных задач решался при использовании понятий множества достижимости и разрешимости: соответственно куда и откуда может передвигаться объект, описываемый системой дифференциальных уравнений. Теория оптимального управления получила свое продолжение для уравнений в частных производных в работах Ж.-Л. Лиониса [6).
Среди других исследователей теории управления и её приложений отметим работы Ф.Л. Черноусько [7], Б.Н. Пшеничного [8], В.А. Троицкого [9|. В.А. Якубовича [10],

-4 -3 -2 -1 0 1
Рис. 5: Носитель распределения, 4 = О
РиС. 6: Носитель распределения 4 = 2