Переопределенные граничные задачи и задачи сопряжения для уравнения Гельмгольца и системы уравнений Максвелла

• Автор: Плещинский, Илья Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 100 с. : ил.

Глава 1. Граничные задачи и задачи сопряжения для уравнения Гельмгольца в полосе
§1. Задача дифракции на перегородке в плоском волноводе
§2. Криволинейная граница, Метод интегральных тождеств
§3. Усечение бесконечной области. Конечно-разностная аппроксимация
Глава 2. Граничные задачи и задачи сопряжения для системы уравнений Максвелла в цилиндрических областях
§4. Система уравнений Максвелла в полубесконечной цилиндрической области
§5. Разветвление цилиндрического волновода
§6. Задачи для системы уравнений Максвелла в прямоугольной цилиндрической области
Глава 3. Сопряжение полуоткрытых диэлектрических волноводов
§7. Задача сопряжения для уравнения Гельмгольца в слоистой полуплоскости
§8. Моды полуоткрытого диэлектрического волновода
§9. Приближенный метод решения задачи сопряжения
Глава 4. Переопределенные граничные задачи для уравнения Гельмгольца
§10. Граничная задача для уравнения Гельмгольца в смещенной четверти плоскости
§11. Граничная задача для уравнения Гельмгольца в полуполосе
§12. Переопределенные задачи в слоистых четвертях плоскости и интегральные уравнения задачи сопряжения полуоткрытых волноводов
Литература

В диссертации исследованы граничные задачи и задачи сопряжения для уравнения Гельмгольца и системы уравнений Максвелла, которые используются при описании процессов распространения и дифракции электромагнитных волн в волноводных структурах. Основная цель работы — распространить метод переопределенной граничной задачи на новые классы задач волноводной электродинамики: задачи сопряжения полей с криволинейными границами раздела сред; трехмерные задачи для волноводов произвольного сечения с металлическими стенками и задачи о стыке открытых диэлектрических волноводов.
Метод переопределенной граничной задачи представляет собой модификацию метода частичных областей, который широко используется при исследовании задач математической физики. Если область, в которой рассматривается электромагнитное поле, может быть разбита на отдельные подобласти, то на разделяющих их поверхностях должны быть непрерывны касательные составляющие векторов напряженностей электрического и магнитного поля. В двумерном случае на границе раздела сред должны быть непрерывны потенциальная функция (решение уравнения Гельмгольца) и ее нормальная производная. Во многих случаях целесообразно рассматривать в частичных областях вспомогательные граничные задачи, в которых на всей границе или, может быть, только па некоторой ее части, заданы все те величины, которые участвуют в условиях сопряжения. Такие задачи являются переопределенными, поскольку условий на границе задается заведомо больше, чем нужно для выделения единственного решения. Необходимые и достаточные условия разрешимости переопределенных задач задают зависимости между граничными функциями. Эти условия вместе с условиями сопряжения на общих участках границ частичных областей образуют систему функциональных уравнений, интегральных или сумматорпых, которая сводится в дальнейшем к регулярному интегральному уравнению или бесконечной системе линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ).
Метод переопределенной граничной задачи стал использоваться при исследовании задач теории распространения и дифракции волн после публикации двух работ. В статье И.Е.Плещинской и Н.Б.Плещинского [64] были получены условия разрешимости ряда переопределенных граничных задач Коши для эллиптических уравнений с частными производными и с их иомощыо исследованы некоторые задачи сопряжения, в том числе и задача дифракции электромагнитной волны на металлической пластине в плоском волноводе. В работе Н.Б.Плещинского и Д.Н.Тумакова [46] методом переопределенной граничной задачи были решены задачи дифракции электромагнитных волн на металлической полосе, на периодической решетке и на стыке плоских волноводов разной толщины.

Одной из первых была исследована переопределенная задача Коши для уравнения Гельмгольца в полуплоскости. Методом интегрального преобразования Фурье в пространстве распределений медленного роста на бесконечности было получено, что необходимое и достаточное условие разрешимости этой задачи представляет собой простое равенство, которое связывает образы Фурье граничных функций. Было установлено, что условие на бесконечности (условие излучения), обеспечивающее единственность решения граничных задач для уравнения Гельмгольца в полуплоскости, может быть задано в аналогичной форме. Если от образов Фурье перейти к исходным граничным функциям, то условия разрешимости переопределенной задачи вместе с условием на бесконечности превращаются в пару взаимно обращающих друг друга интегральных уравнений (интегральных тождеств). В периодическом случае связи между граничными функциями в переопределенных задачах могут быть сформулированы как зависимости между их коэффициентами Фурье, а интегральные тождества становятся сумматорными (точнее, интегралыю-сумматорными).
В работах А.Махера, И.Е.Плещинской, Н.Б.Плещннского, О.А.Раскиной, Д.Н.Ту-макова и автора диссертации метод переопределенной граничной задачи использовался при исследовании различных координатных задач электродинамики (граничную задачу называют координатной, если границы частичных областей являются координатными линиями или поверхностями). Методом интегрального преобразования Фурье были получены необходимые и достаточные условия разрешимости переопределенной задачи Коши в полосе и решение задачи о скачке на границе раздела сред в плоскослоистой среде [63], [22], [18], [19]. Задача Коши в четверти плоскости (квадранте) и задача сопряжения двух квадрантов рассматривалась в работах [09], [47]. В работах [48], [70] задача о разветвлении плоского волновода методом ингегрально-сумматорных тождеств сведена к БСЛАУ, приближенное решение которой может быть найдено методом усечения. Граничные задачи для системы уравнений Максвелла в полупространстве исследованы в работах [26], [40] (см. также обзор [28]).
Метод переопределенной граничной задачи был перенесен на задачи теории распространения и дифракции упругих волн в слоистых средах. Двумерный случай был подробно исследован в работах [44], [45] а трехмерный — в препринте [27]. Аналогичный подход при сведении задач дифракции упругих волн на линейных дефектах использовала А.А.Гусенкова [7]. В работах Д.Н.Тумакова с помощью условий разрешимости переопределенной задачи для системы уравнений плоской теории упругости в полосе были изучены собственные колебания упругой полосы, в том числе и составленной из двух частей.
Различные подходы к решению задач сопряжения для уравнений с частными производными методом переопределенной граничной задачи обсуждались в обзорных статьях [41], [68], [42]. В обзоре [28], п.9 перечислены также некоторые задачи для гиперболических и параболических уравнений, для исследования которых был

ЭКуЛ д^т,с „ч (дК^
ду дх Таким образом, имеет место

дКуу . д-ф1т . уу-)ги£0Єі^Ч?,д).
Теорема 5.1. Задача дифракции электромагнитной волны на разветвлении волновода с металлическими стенками равносильна бесконечной системе линейных алгебраических уравнений (5.9), (5.10).
5.3. Разветвление прямоугольного волновода
В некоторых частных случаях все коэффициенты БСЛАУ (5.9), (5.10) можно вычислить аналитически. Покажем, как это делается, на примере задачи о разветвлении прямоугольного волновода горизонтальной плоской металлической пластиной (см. рис. 5.3).

Рис. 5.3: Сечение разветвленного прямоугольного волновода
Для прямоугольника [0,а] х [0,5] легко найти собственные пары двух задач на собственные значения:
ктх ту , , птх . ту
У) = СОЯ сов —, 4>тп{х, У) = ЭШ 81П ~г~
а, о й о
при ЭТОМ 11ртп11 = аЬ/4, \ipmnW - аЬ/4, и числа
Ітп ~~ $тп — V*2
Тогда по формулам (4.15), (4.16) координаты следов на плоскости г - 0 поля в полубесконечном (г > 0) прямоугольном волноводе
вх(х,у) — У] ^ ] ( ІіХЦо Ц А7Пп . ЪУтп Втп*) Фтп(^}2/)) (^*И)
т=0п=0 й
/ 71 ТІ 7ГТЇІ
ЄуіріУ) ~ ( Т~ Атп Н Іітп -^тпу ^тпір^і 2/)? (5.12)
т=0п=0 0 а
00 °° , л ТІ 71ТП
^х(х,у) — Т. 'Т, ( , І'Утп Атп ШЕдЄ Втп) Фт7ї(х, у), (5.13)
т=0п=0 0 й