Обратные задачи для гиперболических систем первого порядка

• Автор: Орловский, Дмитрий Германович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 103 c. : ил

Введение

Глава I. Обратные задачи на плоскости

§ I. Определение зависимости от переменной ос. ^_16. § 2. Определение зависимости от переменной Ь . ..29. § 3. Обратная задача для гиперболического уравнения

второго порядка

Глава Л. Обратные задачи в многомерном пространстве ...52.

§ I. Обратная задача Коши для слабо связанных

гиперболических систем

§ 2. Обратная задача Коши для симметрической

и регулярно гиперболической системы

§ 3. Обратная задача Коши по определению функции

многих переменных

Литература

Теория обратных задач для дифференциальных уравнений является интенсивно развивающейся областью математической физики. Задачи, которые принято называть прямыми, характеризуются тем, что для заданного дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений по дополнительным условиям находится решение этого уравнения или системы, удовлетворяющее заданным условиям. В обратных задачах помимо решения требуется найти один или несколько коэффициентов или параметров, входящих в уравнение или систему. Основы теории подобных обратных задач заложены в работах А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, В.К.Иванова, А.И.Прилеп-ко, В.Г. Романова, Ю.Е.Аниконова, А.Д.Искандерова, В.В.Гласко,
В.И. Дмитриева и получили развитие в работах советских и зарубежных авторов / 3-5,13, 16, 17, 20, 22, 23-31, 40-46, 50-64, 66-68, 86 /. Истоки теории обратных задач восходят к концу 19 - началу 20 вв. Это задачи о фигурах равновесия вращающейся жидкости, обратная кинематическая задача сейсмики, обратная задача Штурма-Лиувилля и другие / 25,83-85, 87 /.
В данной диссертации рассматриваются обратные задачи для гиперболических систем первого порядка. Теория обратных задач для гиперболических систем была развита в работах В.Г.Романова, С.П. Белинского и других / 7-9, 50-64 /. Эти задачи имеют большие приложения к физике. К ним относятся обратные задачи теории распространения электромагнитных волн, теории упругости, магнитотеллурического зондирования. Обратные задачи теории распространения электромагнитных волн рассматривались В.Г.Романовым, С.П.Белин-ским, Т.Л.Пухначевой и другими / 8, 10, 12, 15, 49 /. В этих работах ставились задачи по определению диэлектрической и магнитной проницаемостей сред, а также по определению электропроводности среды. В работе В.Г.Романова / 55 / рассматривался вопрос

/об определении параметров телеграфной линии. Задачи теории упругости исследовались в работах А.С.Алексеева / I /, А.С.Благовещенского / 10 /, В.Г. Романова / 50 /, Е.А.Волковой / 15 /, а задачи магнитотеллурического зондирования - в работе В.Г.Романова и Е.Ы.Бидайбекова / 62 /. К системам сводятся такие обратные задачи для волнового уравнения, уравнения Дирака и другие
Указанные обратные задачи некорректны в классическом смысле. Методы решения некорректных задач разработаны А.Н.Тихоновым, М.М.Лаврентьевым, В.К.Ивановым и другими, имеется обширная лиПодробная библиография, история развития теории прямых и обратных задач для гиперболических уравнений и систем, а также современное состояние этой теории изложены в работах /14,18,21,23, 24,26,27,32,34,39,52,53,69,72,74,75 /. Основное внимание в обратных задачах для гиперболических систем уделялось ранее проблеме единственности решения. В настоящей диссертации значительное место отведено вопросу существования решения.
Остановимся теперь на содержании диссертации. Она состоит из введения и двух глав. В первой главе рассмотрены обратные краевые задачи для гиперболических систем и обратная задача Коши для гиперболического уравнения второго порядка на плоскости. Во второй главе рассмотрена обратная задача Коши для гиперболических систем в многомерном пространстве.
В общем случае система линейных уравнений первого порядка на плоскости переменных X, в той ситуации, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных функций, имеет следующий вид
/ 30, 36, 79 /.
тература / 2,4,6,11,19-21,33,35,38,51,65,70,71,73/.
(0.1)

5^СЇГХ,-Ь= ТОЧ/О , (1.75)
*с*ц (%*.& = ^ угеь/о, (І>76^
ТІ (1.77)
В формулах (І.74)—(І.77) индекс І принимает значения І и 2. Введем также новую неизвестную функцию 2(хД) =Т)^С:Х/І)=их.ь(3с/Ь) и дополним обозначение интеграла вдоль характеристик. Если дана функция трех переменных ъ,жЛ) и если ЛСхД) обозначает
одну из функций и , 1г , 'ЦТ , 2 , { , получим
^ (ТХ) = 5 ?Ст,зсД)Х(ііСт:;хД)/0(к , С = <Д.

Продифференцируем равенство (1.71) по переменной ос

'иГ(хД') = ерЧх) + ( 2 (ос/Ю сІТ , (1.78)

после дифференцирования уравнения (1.72) по той же переменной получим соотношение
■нсхД} = + 5 (Ви+СяГ+Е9^) + 5(ви+Элг+Е9^)]+
ЬдСхЛ)
4 СНх/ЬД ^ (В1и+С,и + (Еі + Бі'лг +■
ЦіХ/Ь
+ 5 СВдОС+^ТГ +(^рд? +В4гиг+^^)]
(1.79)
Введем оператор интегрирования по переменной х , определив его следующим образом