Разрешимость и асимптотика решений нелокальных эллиптических краевых задач

• Автор: Гуревич, Павел Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 154 с.

Оглавление
Введение
1 Нелокальные эллиптические задачи в двугранных и плоских углах. Формула Грина
1.1 Нелокальные эллиптические краевые задачи. Сведение к задачам с однородными нелокальными условиями
1.2 Разрешимость нелокальных краевых задач в плоских углах
1.3 Априорные оценки решений нелокальных краевых задач .
1.4 Формула Грина для нелокальных эллиптических задач
1.5 Нелокальные эллиптические задачи трансмиссии. Сведение к задачам с однородными нелокальными и краевыми условиями
1.6 Разрешимость нелокальных задач трансмиссии в плоских углах
1.7 Априорные оценки решений нелокальных задач трансмиссии
1.8 Априорные оценки решений одной вспомогательной задачи вГ
1.9 Сопряженные нелокальные задачи
1.10 Разрешимость нелокальных краевых задач. Основные результаты
1.11 Однозначная разрешимость нелокальных задач для уравнения Пуассона в двугранных углах
2 Асимптотика решений нелокальных эллиптических задач
в плоских углах
2.1 Постановка нелокальной задачи в плоском угле. Асимптотика решений
2.2 Гладкость решений нелокальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

2.3 Сопряженные нелокальные задачи в угле
2.4 Вычисление коэффициентов в асимптотике решения нелокальной задачи в угле
2.5 Асимптотика решений локальных задач в!2 {0}
3 Асимптотика решений нелокальных эллиптических задач в плоских ограниченных областях
3.1 Постановка задачи в ограниченной области
3.2 Асимптотика решений нелокальной задачи
3.3 Индекс нелокальной задачи
3.4 Асимптотика решений сопряженной нелокальной задачи
3.5 Вычисление коэффициентов в асимптотике решений нелокальной задачи
Литература
Введение
1. В диссертации изучаются нелокальные эллиптические задачи в двугранных и плоских углах, а также в плоских ограниченных областях.
В настоящее время особый интерес к нелокальным задачам обусловлен, с одной стороны, значительными теоретическими достижениями в данном направлении и, с другой стороны, важными приложениями, возникающими в таких областях, как: теория плазмы [3, 28], биофизика, теория диффузионных процессов [41, 42], теория многослойных пластин и оболочек [25, 52].
В одномерном случае нелокальные задачи изучали еще
A. Sommerfeld [54], Я.Д. Тамаркин [35], М. Picone [50], A.М. Krall [49] и др. В двумерном случае, по-видимому, одна из первых работ, посвященных нелокальным задачам, принадлежит Т. Carleman [40]. В работе [40] ищется гармоническая в области G функция, удовлетворяющая следующему нелокальному условию на границе Т области: значение неизвестной функции в точке у 6 Т связано со значением в точке oj(y), где и : Т —> Т — преобразование границы, удовлетворяющее требованию oj(u)[y)) = у, у е Т. С такой постановкой задачи связаны дальнейшие исследования нелокальных эллиптических задач со сдвигами, отображающими границу области на себя, и абстрактных эллиптических задач [5, 38, 39].
В 1969 году A.B. Бицадзе и A.A. Самарский [3] рассмотрели возникающую в теории плазмы нелокальную задачу следующего вида: ищется гармоническая в прямоугольнике G = {у £ Ж2 : -1 < yi < 1, 0 < 2/2 < 1} и непрерывная в G функция и(щ, у%), удовлетворяющая условиям
Чуъ 0) = ft(yi), и(уи 1) = 02(yi), — 1 < У1 < 1,
«(-1, Уг) = УзЫ, «(1, у2) = «(0, у2), 0 < у2 < 1,
где 01, 02? Уз ~~ заданные непрерывные функции. Данная задача решена в работе [3] сведением к интегральному уравнению Фредгольма второго рода и применением принципа максимума. В случае произволь-

Замечание 1.2. Заменяя в замечании 1.1 Н2т(-) и йДД 2т(-) на Е2тф) и -ЄІГа+2т(') соответственно, а теорему 1.1 на теорему 1.2, видим, что формула (1.44) может быть распространена по непрерывности на случай, когда и3 Є ЕІт{К3), и,-* Є Е2_+2т{Кц).
3. Положим П,- = {(а;, т) : Ь3і < и> < і, т Є М}, = {(со, т) :
Ь3і < со < 6ут, г Є М} (і = 1, ..._, і?,).
Для иіг Є Со°(П^), узі Є С°°(Цд) (или из1 Є С°°(П^), уц Є С^°(П^)) обозначим

(ид, = / / «д(ш, Ф^дК т)сШт
-оо Ъц
(і = 1, ..., IV; і = 1, ..., Д7).
Для ф € Со00(К), £ Є С00(Ж) (или Є С°°(К), £ Є Со°(К)) обозначим

(У> 0» = / У(т) • Для йц, % є С,00([Ьд. Ф+і]) обозначим

Ь7,*+
(Ф Удф, ь*,+і) = I ФМ 'УдИ (ІШ {з = 1, ..., /V; 1 = 1, ..., Щ). Ьц
Наконец, для сі, е Є С положим (сі, е)с = ё ■ ё.
Пусть функции Уд (а?) заданы в [6,-*, ф+і]; тогда будем обозначать через Vj(ш) функцию, определенную В [6,1, 6уд,+і] по формуле Уф) = %(ш) для со Є (6,-г, 6і>т).
Формально полагая П. = 0, запишем дифференциальные операторы в полярных координатах: "РДПу, 0) = г~2тР3(ш, Иш, гБг), Вза1л(Ву, 0) = г~т^1фф, £>„, г Д.) и т. д.
Рассмотрим нелокальную краевую задачу (1.12), (1.13) с параметром А.
Теорема 1.9. Пусть 7ф, Bjcrll и т. д. — операторы, фигурирующие в теореме 1.7. Тогда для всехЫ3 Є С0О([6,т, буя,-и] У Уд Є С'°°([^Д)