Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с континуальной производной

• Автор: Эфендиев, Беслан Игорьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 73 с.

Оглавление
Введение

Вводные сведения

0.1. Специальные функции

0.2. Операторы интегро-дифференцирования дробного и континуального порядка

Глава I. Задача Коши

1.1. Постановка задачи

1.2. Общее представление решения

1.3. Фундаментальное решение

1.4. Интегральное представление фундаментального решения

1.5. Решение задачи Коши

Глава II. Задача Дирихле и задача Неймана
2.1. Решение задачи Дирихле
2.2. Решение задачи Неймана
2.3. О спектре задачи Дирихле
2.4. Оценка спектра задачи Дирихле
2.5. О спектре задачи Неймана
Глава III. Нелокальные краевые задачи
3.1. Постановка задач
3.2. Функции Грина нелокальных краевых задач
3.3. Решение задачи Стеклова с граничными условиями первого класса
3.4. Решение задачи Стеклова с граничными условиями второго класса
Заключение
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Область математического анализа, называемая дробным исчислением и посвященная исследованию и применению производных и интегралов произвольного (вещественного или комплексного) порядка, имеет давнюю историю и богатое содержание, обусловленное проникновением и взаимосвязями с самыми разнообразными вопросами теории функций, интегральных и дифференциальных уравнений и др. Дробное исчисление функций одной и многих переменных продолжает интенсивно развиваться, и в настоящее время наблюдается заметный рост внимания исследователей к нему. В первую очередь это обусловлено многочисленными эффективными приложениями дробного интегро-дифференцирования при математическом моделировании физических, химических, экономических и социально-биологических явлений. Как справедливо заметил А.М. Нахушев: "дробное (дифференциальное и интегральное) исчисление в теории фракталов и систем с памятью приобретает такое же важное значение, как и классический анализ в физике (механике) сплошных сред"[19, с. 8].
Дифференциальные уравнения дробного порядка являются основой большинства математических моделей, описывающие физические, химические, экономические и социально-биологические явления. Поэтому весьма актуальной и важной задачей является развитие аналитического аппарата теории уравнений с производными дробного порядка.
В 1925 г. впервые при обобщении задач вариационного исчисления С. Мандельбройт пришел к уравнению, позже названное В. Вольтерра, обыкновенным непрерывным дифференциальным уравнением [1, с. 100].
А.М. Нахушев в 1988 г. ввел оператор интегро-дифференцирования

континуального порядка

MZfu(x) = J adx)Dlxu(t)dZ, а < /З,

где Dlx - оператор дробного интегро-дифференцирования порядка £ с началом в точке а и с концом в точке х, и следуя В. Вольтерра, дал определение непрерывного дифференциального уравнения [11]. В силу этого определения, уравнения с операторами (1) относятся к классу непрерывных дифференциальных уравнений [1, с. 100], [13, с. 99], [11], [12], [14], [15].
В англоязычной литературе вместе с названием "непрерывное дифференциальное уравнение" используется "distributed order differential equati-
B 1995 году в работе [57] М. Caputo ввел производную распределенного
где (Ю)(а)<£>) (0 = _ положительная функция.
В настоящее время имеется много работ, посвященных различным аспектам теории дифференциальных уравнений с производными дробного порядка в смысле Римана-Лиувилля и в смысле Капуто (см., например, монографии [2],[5],[13],[19],[32] и статьи [8],[9],[10],[11],[16],[17] и ссылки там). В то время, как непрерывные дифференциальные уравнения остаются практически не исследованными.
Сделаем краткий библиографический обзор работ, в которых исследовались уравнения с операторами (1) и (2).
А.М. Нахушев в работе [11] предложил метод решения непрерывных
порядка

ими»

Im Jps~kds = J ps~k sin ((s - к) argp)ds
cx a

следует, что Im f ps~kds = 0 тогда и только тогда, когда argp = 0.

Но, если argp = 0, то Re /ps~kds = f ps~kds > 0. Отсюда следует,

что выражение р2 к + Л/ps~kds ф 0 при Л > 0, | argp| < тг/2 4- £,

е > 0. Значит, подынтегральное выражение не имеет особенности при | argp| < 7г/2 + е, е > 0, р > 0 . При этом функции
р2~к In р + Х [рР-к - р°-к] + 1 " к[ °’ к = 0,1,2 при р —► оо равномерно относительно argp. Поэтому, на основании леммы Жордана [3, с. 34] значение интеграла в формуле (1.4.4) не изменится, если контур (с — гоо, с + гоо) деформировать в контур Ханкеля j(r, ит), 1/2 < ш < 1, в результате которого получим интегральные представления (1.4.2). Теорема 1.4.1 доказана.
§1.5. Решение задачи Коши
Здесь построим решение задачи Коши для уравнения (1.1.1), используя фундаментальное решение.
Теорема 1.5.1. Пусть f{x) G L [0, /] П С]0, /[. Тогда регулярное решение задачи Коши (1.1.2) для уравнения (1.1.1) существует и единственно. Решение имеет вид

и(х) = иа-Гх(сс) + щГ{х) + J ГА(ж -t)f(t)dt. (1.5.1)