Дискретные динамические системы с соленоидальными базисными множествами

• Автор: Исаенкова, Наталья Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 116 с. : ил.

1 Динамика соленоидальных базисных множеств
1.1 Основные определения и обозначения
1.2 Представление соленоида в виде обратного предела
1.3 Неособые эндоморфизмы окружности
1.4 Доказательство основных теорем
1.5 Реализация базисных множеств диффеоморфизма БУ
2 Необходимое условие сопряженности
2.1 Основные понятия и постановка задачи
2.2 Классификация б-накрытий окружности
2.3 Необходимое условие сопряженности диффеоморфизмов БУ
3 О внутренней и окрестностной классификации аттракторов
3.1 Основные определения
3.2 Конструкция диффеоморфизма с одномерным растягивающимся аттрактором
3.3 Внутренне сопряженные, но окрестностно не сопряженные
диффеоморфизмы
Список литературы

Одной из основных задач качественной теории динамических систем является классификация диффеоморфизмов с точностью до (топологической) сопряженности. При решении задачи классификации выделяется класс диффеоморфизмов, внутри которого сперва решается задача топологической эквивалентности (нахождение необходимых и достаточных условий существования гомеоморфизма многообразия, переводящего орбиты одного диффеоморфизма в орбиты другого диффеоморфизма, с наличием коммутативной диаграммы отображений) и задача реализации. При этом один из этапов состоит в описании возможных инвариантных множеств, определяющих динамику диффеоморфизмов из рассматриваемого класса. Благодаря работам Аносова Д.В., Плыкина Р.В., Смейла С. и др. было установлено, что даже у структурно устойчивых (грубых) диффеоморфизмов могут быть сложно устроенные с топологической точки зрения инвариантные множества. Одним из первых примеров таких множеств является соленоид.
Соленоиды изучаются в таких разделах математики, как топология, теория групп и теория динамических систем. Как инвариантное множество динамической системы, соленоид впервые появился в книге "Качественная теория дифференциальных уравнений" Немыцкого В.В. и Степанова В.В. В гиперболическую теорию динамических систем соленоиды были введены Смейлом С., который построил несколько (ставших уже, классическими) примеров структурно устойчивых и С-устойчивых диффеоморфизмов с притягивающими инвариантными множествами (растягивающимися аттракторами). Напомним, что основы гиперболической

теории были заложены в работах Аносова Д.В., Синая Я.Г., Смейла С. и др., и восходят к работе Андронова А.А., Понтрягина Л.С. о грубых потоках на плоской области. Естественно ввести и рассмотреть класс диффеоморфизмов, для которых соленоид является гиперболическим инвариантным множеством (или базисным множеством), либо содержит гиперболические инвариантные множества.
В данной диссертации вводится и изучается класс диффеоморфизмов с инвариантными соленоидальными множествами, который включает в себя классический пример Смейла с соленоидальным растягивающимся аттрактором. Описаны все возможные типы инвариантных (базисных) множеств и получено необходимое условие сопряженности ограничений диффеоморфизмов на базовых многообразиях. Решена задача классификации сРнакрытий окружности (в частности, неособых эндоморфизмов окружности). Кроме этого, построены примеры, демонстрирующие разницу между внутренней классификацией обобщенных соленоидов, полученной Вильямсом Р., и окрестностной классификацией, которая рассматривается в данной диссертации.
Соленоид впервые был введен Виеторисом в 1927 году, как пример однородного множества, для которого была не применима стандартная теория гомологий и когомологий. Однородность означает, что локальная структура соленоида одинакова во всех точках соленоида. Известно, что соленоидом называется множество, которое можно представить в виде пересечения последовательности полноторий В Э Вч 7) ... Э В{ Э ■ ■ ■, таких, что для любого г > 1 ось полнотория В^+ обходит щ > 2 раз ось полнотория В{, не образуя крюков, см. рис. 1. Нетрудно видеть, что соленоид является множеством канторовского типа (совершенным, нигде не плотным), связным и вполне разрывным континуумом, локально гомеоморфным произведению отрезка на канторово множество. Топологическая размерность соленоида равна единице. Развитие понятий гомологии и когомологии для таких множеств, как соленоид, привело в дальнейшем к известным понятиям гомологии и когомологии Чеха.

получаем ^(АГ^П^'РГ^П^'РГОП
ДГ'П^ДГОП^Д-ОГ.РПЛЦСЦ'Щ--- = («о,го) и ^‘(<о,го) = (ф,,го). Тогда (5о является периодической точкой минимального периода I диффеоморфизма Т.
Существует интервал (а, (3) С 51, содержащий ф и принадлежащий смежному интервалу множества 51 Е°. Если все точки из (а, (3) {ф} непериодические, то в силу леммы 1.12, они являются блуждающими точками эндоморфизма д. Согласно лемме 1.13, диски Тф'1 при Ь £ (а, /3) {ф} состоят из блуждающих точек диффеоморфизма С. Таким образом, изолированность ф влечет изолированность точки фо-Рассмотрим теперь случай, когда в (сц/З) {ф} имеются периодические точки С для любого интервала (су/3), содержащего точку ф. Поскольку все периодические точки из одного смежного интервала имеют одинаковый период, скажем I £ М, то в любом диске лежит ровно одна
притягивающая точка периода I диффеоморфизма Р. Отсюда и непрерывности Е вытекает, что в Гфф1 имеется ровно одна неблуждающая точка, которая совпадает с ф>о
Лемма 1.15 Пусть = (#(£), Д) удовлетворяет условиям (1.1)-(1.3), и эндоморфизм д нетранзитивный. Тогда пересечение (гпЪ П АИФДИ) для любого периодического смежного интервала
[а, Ь состоит из конечного (ненулевого) числа стоковых периодических точек и конечного (возможно, нулевого) числа седловых изолированных периодических точек.
Доказательство. Пусть / > 1 - период периодического смежного интервала [а, Ь. Тогда диффеоморфизм д1[ад '■ [&Д] [а, Щ имеет отталкивающие концевые точки. Согласно лемме 1.14, пересечение 1гй П'Д П М¥(Р) состоит из периодических точек одного периода I. Так как эти точки гиперболические, то их число конечно. Следовательно, рг|[а,6] имеет конечное число неподвижных точек. Из гиперболичности М¥(П) и того, что Рд(ф) есть одно из собственных значений якобиана И следует,