Структура множества управляемости линейной нестационарной системы с векторным управлением

• Автор: Лукьянов, Владимир Викторович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 110 с. : ил.

Оглавление

Список основных обозначений

Введение

Глава 1. Двухпараметрические Т-системы функций

§ 1. Определение и свойства двухпараметрических Т-систем функций на фиксированном промежутке

§ 2. Некоторые обобщения понятий и утверждений из §

§3. Функции сг(-), сг'(-) и их свойства

Глава 2. Линейные нестационарные управляемые системы .

§ 4. Линейная нестационарная управляемая система. Определения

и обозначения

§ 5. Оптимальное программное управление и структура множества

управляемости линейной докритической системы
§ 6. Примеры
Список литературы

Список основных обозначений
N — множество натуральных чисел
Z+ — множество неотрицательных целых чисел
R” — стандартное евклидово пространство размерности п, элементы К” следует представлять себе в виде вектор-столбцов
Rn* — n-мерное евклидово пространство, сопряженное к Rn; элементы R”* следует представлять себе как вектор-строчки
х — евклидова норма элемента х в пространстве R"
М+ = [0, +оо)и{+оо) — неотрицательная полуось расширенной вещественной прямой
C(X,Y) — пространство непрерывных отображений пространства X в пространство У
М(п, тп) — пространство непрерывных линейных отображений Rm в Мп, элементы пространства М(п, тп) могут отождествляться с их матрицами относительно стандартных базисов в Rm и W
Аг — матрица, транспонированная к матрице А
5n_1 = {х € R" : |ж| — 1} — сфера размерности п —
0’г(х) = {у е М" : х — у < е} — открытый шар радиуса £ размерности п с центром в точке х
int А ~ внутренность множества А
с1 А — замыкание множества А
дА — граница множества А
г} 1—> с(ц, А) — опорная функция компактного выпуклового множества А

Введение
Задачи быстродействия для линейных систем (линейные задачи быстродействия) являются одним из изучаемых разделов теории оптимальных процессов. Разработанная в 50-х годах XX века Л. С. Понтрягиным, Р. В. Гамкрелидзе, В. Г. Болтянским и Е. Ф. Мищенко математическая теория оптимального управления [31], в основе которой лежит принцип максимума, дала новый общий подход к решению подобного рода задач. Основным предметом исследований в этой области являются вопросы структуры оптимальных управлений, структуры множества управляемости и тесно связанная с ними проблема синтеза оптимальных управлений. Наиболее полно изучена линейная задача быстродействия для стационарных систем [4,5,8,14,31], в то время как для нестационарных систем полученных результатов общего характера значительно меньше [14,38].
Е. Л. Тонков в работах [34-38] рассматривал линейную нестационарную оптимальную по быстродействию управляемую систему
х = А(£)х + Ь(Ь)и, |«| ^ 1 (0.1)
в предположении непрерывности отображений А: М —» М(п,п) и Ь: К —>
К". Е. Л. Тонков ввел понятие неосцилляции [34,35] сопряженной системы ф = —фА{€) на интервале /СМ относительно гиперплоскости
7(£) = {ф <Е Мп* : фЬ(Ь) = 0} и доказал ряд утверждений о структуре
оптимальных управлений [34,35], структуре границы множества управляемости системы (0.1) [35,37] и изучил вопрос построения синтезирующей функции [38]. При исследовании этих вопросов автор использовал методы из теории чебышевских систем [15, с. 50]. В более поздних работах систему (0.1), у которой сопряженная система ф = —фА{1) неосциллирует на

Теорема 1.2. Пусть выполнено условие 1.1. Тогда для любых векторов I = (р,..., ц.) £ 3, 5 £ А-(г) и любой допустимой на I системы точек {т/}^=1’'[ существует такой ненулевой вектор с, что
1) 6 (с) = 6;
2) каждая линейная комбинация £•?(£;с) (у — имеет узлы в точках т(,.. .,т? и не имеет других узлов на интервале I.
Доказательство. По условию теоремы 5 £ А“-^), поэтому по лемме 1.2 существуют векторы {' £ 3, 6' £ Л_(17), удовлетворяющие условиям 1)—3) леммы 1.3. Теперь применяем лемму 1.3. □
Теорема 1.3. Пусть выполнено условие 1.1, 1 € 3, 8 € { — 1,1}Г — произвольные векторы. Для того чтобы 8 £ А~(г) необходимо и достаточно, чтобы существовали векторы 1 £ 3 и 8' £ А-(г'), удовлетворяющие условиям:
1) з(Г) = п - 1;
2) 1 < I7;
3) 83 = 8^ при тех j £ {1,..., г}, при которых ij = I7,-.
Доказательство. Необходимость составляет утверждение
ранее доказанной леммы 1.2, а достаточность следует из леммы 1.3. □
Следствие 1.3. Пусть выполнено условие 1.1, г € 3, 5 £ {—1,1}г — произвольные векторы. Если существуют такие векторы ' £ 3 и 8' £ Л_(17), что 1 ^ г7 и 8j = <57 при тех j £ {1,..., г}, при которых = 'р то 8 £ Л~ (г).
Доказательство. Пусть выполнены условия следствия. По теореме 1.3 существуют такие векторы I77 £ 3 и 8" £ Л~(1"). что
1) в{") = 71 — 1;
2) I7 ^ I77;