Применение метода контурного интеграла к изучению одномерных задач с обратным течением времени для параболического уравнения

• Автор: Фейзуллаев, Намизад Азай оглы
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 89 c. : ил

ГЛАВА I. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНТУРНОГО ИНТЕГРАЛА

К ИЗУЧЕНИЮ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ С ОБРАТНЫМ

ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ ДЕЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО

УРАВНЕНИЯ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

§ 1.1 Построение фундаментального решения для

вспомогательного уравнения

§ 1.2 Решение задачи Коши с обратным течением

времени

§ 1.3 Решение вспомогательной задачи

§ 1.4 Решение смешанной задачи с обратным

течением времени

Глава II. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА. КОНТУРНОГО ИНТЕГРАЛА К ИЗУЧЕНИЮ ОДНОМЕРНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ С ОБРАТНЫМ ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ ДЕЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ
§ 2.1 Асимптотическое представление решения
вспомогательной задачи
§ 2.2 Решение основной задачи
ЛИТЕРАТУРА

Известно, что задача Коши для уравнения параболического типа в смысле И.Г.Петровского с обратным течением времени является неустойчивой к малым изменениям начальных данных. Неустойчивость сохраняется и в случаях, когда решение подчиняется некоторым дополнительным граничным условиям. Подобные задачи часто встречаются при описании различных физических явлений. Однако до сравнительно недавнего времени большинство математиков считали эти задачи неинтересными. Необходимость рассмотрения "некорректных" задач математической физики и правильная их постановка была впервые указана А.Н.Тихоновым в 1943 году [21]
Для устойчивого решения задач с обратным течением времени разработан метод квазиобращения [в]. Идейно метод квазиобращения весьма близок к методу регуляризации по А.Н.Тихонову [24]
Наиболее простым примером задач с обратным течением времени является задача об определении начальной температуры Ср(Х) стержня, на концах которого поддерживается нулевая температура, а при этом требуется, чтобы к заданному моменту времени Т температура стержня была близка к наперед заданной температуре Зб(Х) . Вообще говоря, невозможно подобрать начальную температуру так, чтобы и(х,Т)=де(х). Это
связано с необратимостью данной задачи по времени. Однако для всякого О можно найти такое ср(х) , что и&.т) приближает 39 (сс) с точностью 2 • Тогда можно поставить задачу

об определении некоторой функции , реализующей такое
приближение. В нашем примере процесс описывается оператором теплопроводности
<эа
и на первый взгляд казалось бы естественным поставить задачу

т съ&
и(о^)-а(Ц)-о , і(*,чі)=эгс*)
(3)
С4)
Но эта задача некорректна, и идея метода квазиобращения состоит в замене оператора теплопроводности (I) оператором

ҐІЇГ бс)осг

(где £>0 )
■корректным для обратного направления времени.
Заменяется задача (2)-(4) следующей корректной задачей:
(5)
ґЬь (^,і) <7)4 (»,$ е ґдк аС=«Л)
сох сь ос1» и ’
(6)
(7)

Как известно из теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений ^ , если коэффициенты КкС00) (<=0,т) непрерывны на интервале СаЛ) . а на этом интервале, то
однородное уравнение, соответствующее уравнению (2.1.1), имеет фундаментальную систему частных решений
(2.1.3)
являющихся целыми функциями от "X
Применяя обычный метод вариации постоянных, получим для общего решения уравнения (2.1.1) следующее представление:
, (2Л'4)

I т
п?и
ь«1
(2.1.5)
” к (1* X) при С1^:ос Й
2>=А
2М>=-^77— > (&=* ,«»), (2Д.6)