Явное решение некоторых задач сопряжения аналитических, гармонических и обобщенных аналитических функций в особых случаях

• Автор: Норов Курбанбай
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 75 с.

СОДЕРЖАНИЕ Введение

1. Случай явной разрешимости общей граничной задачи линейного сопряжения для аналитических и гармонических функций в круге
1.1.0 случаях явной разрешимости общей граничной задачи линейного сопряжения аналитических функций

1.2. Об одной краевой задаче сопряжения гармонических

функций

2. О задачах сопряжения гармонических функций, разрешаемых в замкнутой форме

2.1. Задача сопряжения гармонических функций и её особый случай

2.2. Случай разрывных коэффициентов в задаче сопряжения гармонических функций

3. Задача сопряжения гармонических функций

для полуплоскости

4. Об одной краевой задаче теории аналитических функций с сингулярным граничным условием
5. Случай, когда коэффициенты задачи (А0) имеют особенности различных типов
6. Особые случаи краевой задачи сопряжения для
одного случая обобщенных аналитических функций

ВВЕДЕНИЕ 0.1. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Будут рассматриваться комплекснозначные функции точек плоскости (х,у) или г=х+1у, обозначаемые не только как Г(х,у), но и как
функций, причем для цГ&) требуется, чтобы <р~(оо) =0.
3. 1 - число линейно независимых над полем Бещественных ,, чисел решений однородной задачи, р - число условий разрешимости неоднородной.
4- Н{Ь) - класс функций удовлетворяющих условию Гель-дера: |Г(1Ц> - І{%2) < КгІ-І.ДЛЯ всех 1,, %2 € Ь, причем О к < 1.
5. БрСБц) - норма в ЬР(Н(Ю) сингулярного оператора;

Отметим, что для окружности Б2 = 1.
6. А(Б) - класс функций, аналитических по комплексной переменной в области Ю.
2. ф±(ї) - предельные значения на Ь аналитических в В*
0.2. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
Новый расцвет теория краевых задач и сингулярных интегральных уравнений получила лишь в середине тридцатых годов. В течение короткого промежутка времени, и особенно в последние годы, вышло большое количество работ, посвященных краевым задачам аналитических функций. Большую роль, здесь сыграли работы Н.Й.Мусхелишвили С181 по теории упругости и задачи теории упругости приводятся к краевым задачам теории функций комплексного переменного, а последние при помощи интегралов типа Коши к сингулярным интегральным уравнениям.
От вышеуказанных краевых задач естественно надо было перейти к постановке и решению общего случая основной краевой задачи, что и сделано в работах Ф.Д.Гахова [5].
Наряду с работами по теории упругости большую роль сыграли также работы Лаврентьева М.А.» Келдыша М.В., Седова Л.И. и др. по гидродинамике.
При решении практических задач здесь попутно ставились и решались частными методами некоторые краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения специального вида.
Трудно перечислить все работы опубликованные за послед-ные годы, связанные так или иначе с нашей тематикой. Такая подробная библиография имеется в монографиях Н.М.Мусхелиш-вили [181 и Ф.Д.Гахова [51.
За последние десятилетия широкое распространение получили общие линейные краевые задачи сопряжения аналитических функций, центральное место среди которых занимает задача:

они даются формулой (2.8), где надо положить Рэе_1 (а)=0, а неоднородная задача (2.1) разрешима при любом свободном члене и её общее решение даётся формулой (2.8).
Если зе < 0, то однородная задача (2.1) неразрешима.При зе = -1 неоднородная задача разрешима единственным образом. В случае зе < -1 неоднородная задача,вообще говоря неразрешима.
Для того, чтобы она стало разрешимой, необходимо и достаточно, чтобы свободный член задачи удовлетворял (-2эе) вещественным или (-зе) комплексным условиям вида (2.7).
2. Теперь проведём исследование задачи (2.1) в случае когда коеффициенты ай, рк имеют разрывы в конечном числе точек:
При помощи (2.9) краевое условие (2.1) преобразуется к следующему виду:
(2.9)

Комплексно сопрягая (2.10), получим: