Применение пространств Орлича в задачах динамики идеальной несжимаемой жидкости

• Автор: Уваровская, Мария Ивановна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 63 с.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ

0.1. Актуальность математической корректности уравнений МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ

0.2. Обзор результатов по разрешимости уравнений

идеальной несжимаемой жидкости

0.3. Краткий обзор по теории пространств Орлича

' 0.4. Краткий обзор содержания диссертации

1. ГЛОБАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С НЕГЛАДКИМИ ВХОДНЫМИ ДАННЫМИ

1.1. Вспомогательные сведения из теории пространств Орлича

1.2. Задача непротекания

1.3. Задача протекания

1.4. Задача мелкого бассейна с неровным дном
2. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ВИХРЕМ
2.1. Вспомогательные сведения и построения
2.2. Существование обобщенного решения
2.3. Единственность решения
2.4. Сравнение результатов
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
0.1. Актуальность математической корректности уравнений механики жидкости
Дифференциальные уравнения механики жидкостей занимают важнейшее место в механике, физике и математике благодаря многочисленным приложениям в метеорологии, аэродинамике, океанографии, термодинамике, физике плазмы, биологической механике и в других областях. Современное состояние науки и техники неразрывно связывает применение моделей с их математическим исследованием. Исследование корректности уравнений гидродинамики способствует разработке новых численных методов их решения и помогает познать природу физических явлений, объектов и взаимодействий.
Свои знаменитые уравнения идеальной жидкости Л. Эйлер вывел в 1750г. Позднее К.-Л. Навье (1822) и Дж.Г. Стокс (1845) обобщили эти уравнения с учетом эффекта вязкости. С тех пор большие успехи были достигнуты в понимании классических моделей жидкости. Однако в настоящее время остается без ответа ряд принципиальных математических вопросов, касающихся разрешимости этих уравнений, единственности и устойчивости их решений. Модель идеальной несжимаемой жидкости является классической моделью механики сплошных сред и имеет богатую историю. Данная модель является сильно упрощенной с точки зрения механики, но тем не менее достаточно содержательна в прикладном отношении и интересна математически, так что именно с нее начинается математическое исследование, которое может быть далее распространено на более сложные модели. Стоит отметить, что задачи протекания имеют практические применения в различных приложениях: течения в проливах, реках, трубопроводах, в химических реакторах и т.д.

0.2. Обзор результатов по разрешимости уравнений идеальной несжимаемой жидкости
Как известно [40], [31], движение идеальной несжимаемой жидкости описывается системой уравнений Эйлера: дги >
— + (ь - 7)те + Ур = /; сйуи = 0, (0.1)
в которой V = («1
В диссертации рассматривается вопрос математической корректности модели (0.1). Данная проблема имеет долгую и богатую историю, мы лишь упомянем основные результаты по близким к теме диссертации. Более детальный обзор можно найти в статьях [73], [101], [8], [15], [64] и в монографиях [87], [81]. Локальное существование и единственность классических решений для трехмерных уравнений впервые были установлены в работах Н.М. Гюнтера [14] и Л. Лихтенштейна [80] в конце двадцатых годов прошлого столетия. В этих работах рассматривалась задача Коши в (0, Т) х К" с начальными данными
?Ф=о = »о, (О-2)
или задача непротекания в — (0, Т) х О, описывающая течения в ограниченной области £2 С К" с достаточно гладкой границей Г с начальными данными и граничным условием
vt=o = v V гг|(0)г)хг = 0) (0.3)
где Т > 0 — достаточно малое число, п — внешняя нормаль к Г, ьо — начальная скорость.
Для двумерного случая существование глобальных классических решений задач (0.1), (0.2) и (0.1), (0.3) без внешних сил с несколько завышенной
(1.4.1)—(1.4.4) (с VQn вместо го : = rotvon, VQn e Sft(fi!)), и имеет место
IL.Ol 1
Согласно работе [78] для каждого п найдется единственное решение vn задачи

оценка
||wn 11(0,т-ьм(П)) < \шп\ьм(П), (1.4.13)
где шп = 1 rot vn. Также vn и vqu удовлетворяют интегральному тождеству (1.4.5).
Обоснуем теперь возможность предельного перехода в равенстве (1.4.5). Из уравнения (1.4.1) для vn имеем следующее интегральное тождество: т т
J f dx dt = J J [vn (vnh, V)v?] dxdt, (1.4.14)
on on
если p |r = 0, div {hip) — 0, p G C1((0, T) x Q). При условии (1.4.6) по теореме, доказанной в работе [39], пространство Тд,/(Г2) И“1 (Q). Обозначим
через Вод = { v G S2h{Q) : rotv G Ьм{&) }- Методом компенсированной компактности (см. [89]) получаем, что Soft М-е-> 1/2(0). В силу оценок (1.4.12), (1.4.13) и первой энергетической оценки последовательность vn ограничена в пространстве ДО, Т; Soft). Тогда найдется v G Дх>(0, Т; Soft) такое, что vn —У v *-слабо в этом пространстве (здесь и далее — с точностью до перехода к подпоследовательности). При этом v удовлетворяет (1.4.7).
Из тождества (1.4.14) следует, что последовательность {-} ограничена в Si(0, Т; Sift(f2)), где B{h(fi) — {ре W (П) : div (hp) = 0}. Пространство 1/2() непрерывно ВЛОЖеНО В Sift(H) В СИЛУ ТОГО, ЧТО ВЛОЖеНИе Ь2 (П) в непрерывно (и даже компактно). Значит Soft L2{Q) м- Sift(fi). Тогда из соображений компактности типа Обэна-Симона [51], [96] получаем, что vn компактно в Тг((0, Т) х П), значит можно считать, что vn v сильно в Ь2{{0, Т) х Q). Рассмотрим интегральное тождество для vn: т

hvn
+ к V)v
dxdt+ / hvon pt=odx — 0. (1.4.15)