Управляемые системы и дифференциальные включения с производными в среднем на многообразиях

• Автор: Желтикова, Ольга Олеговна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 106 с.

Оглавление
Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Основные сведения из теории с.д.у

1.1.1 Случай линейных пространств

1.1.2 Случай римановых многообразий

1.2 Многозначные отображения

1.3 Классические производные в среднем

1.3.1 Производные в среднем вЕ"

1.3.2 Производные в среднем на многообразии

1.4 Уравнения с производными в среднем справа

2 Нестохастическое управление
2.1 Допустимые множества
2.2 Индекс разрешимости для вариационных неравенств на римановых многообразиях относительно допустимых множеств
2.2.1 Задачи вариационного неравенства с допустимыми
многозначными векторными полями
2.2.2 Индекс разрешимости для задач вариационного неравенства
2.2.3 Примеры допустимых многозначных векторных полей
на допустимых множествах и теорем существования .

3 Стохастическое оптимальное управление для включений с производными в среднем в евклидовом пространстве
3.1 Существование оптимального решения
3.2 Стохастический аналог леммы Филиппова
4 Задачи стохастического управления для включений типа геометрического броуновского движения
5 Вопросы стохастической оптимизации на многообразиях
5.1 Случай компактных многообразий
5.2 Теория на некомпактных многообразиях
5.3 Допустимые множества
Литература

Введение
Понятие производных в среднем было введено Э.Нельсоном (см. [44], [45], [46]) в 60-х годах XX века для нужд построенной им стохастической механики (вариант квантовой механики). Уравнение движения в этой теории (так называемое уравнение Ньютона-Нельсона) было первым примером уравнений с производными в среднем. Позже было показано, что в терминах уравнений с производными в среднем описываются и другие задачи математической физики, экономики и др. (см., например, работы Ф.Гуэрры, Л.М. Морато, Д. Дорн [24, 25, 34, 35], Т. Заставняка [50, 51] Ю.Б. Гликлиха [28, 30, 31], С .Фаринелли [27], Ю.Хе [36] и др.). В работах Ю.Е. Гликлиха [7, 8] (см. также [31]) уравнения с производными в среднем начали изучаться как отдельный класс стохастических дифференциальных уравнений.
Нужно отметить, что классические производные в среднем по Нельсону дают информацию только о сносе стохастического процесса. Решения таких уравнений предполагались процессами Ито диффузионного типа (или даже марковскими диффузионными процессами) с известным диффузионным членом. Затем в работах С.В.Азариной и Ю.Е.Гликлиха [1], [21] была построена другая производная в среднем, связанная с коэффициентом диффузии и являтощаяся модификацией классических производных по Нельсону. Это позволило корректно поставить задачу о нахождении процесса по его производным в среднем.
Начиная с работ Э.Д. Конвея [23], П. Кри [39], Ж.П. Обена и Дж. Да Прато [20] и до настоящего времени во всем мире активно развивается теория стохастических дифференциальных включений (см., например, статьи

Pa : W(A) —» А, которая переносит точку x € W(A) в ближайшую к х точку в А.
Так как U С А компактно, существует <5i > 0, такое что W$1(U) С W(A). К тому же, используя результаты из [42], можно сделать вывод о существовании S2 > 0, таком что для каждой точки х 6 U и 6,0 < 6 < 82, отображение
ехрх : B~s(0) С ТХ(М) ->■ В-5(х) С М
является диффеоморфизмом.
Возьмем теперь 5 > 0, которое удовлетворяет неравенству
5 < min {<5i, 82} ■ (2.2)
Из [42] следует, что множество Ф(U) ограничено, и, значит, можно выбрать достаточно малое к > 0, такое что
к ||Ф(®)[| < й для всех х 6 U, (2.3)
где ||Ф(ж)|| = sup {H^ll : € Ф(х)}.
Рассмотрим мультиотображение F : U —> К(А) определенное следующим образом
F(x) = РА(ещ>х(—кФ(х))), т.е., F можно описать посредством следующего разложения
U Л ТАГ А ТМ е-А W(A) А Л, (2.4)
где к{х,у) = (х,ку) для всех (х,у) 6 ТМ, ехр(з;,у) = ехрху для всех
(.х,у) 6 ТМ и РА - ортогональная проекция на А.
Теорема 2.9 Каждая неподвижная точка х* мулътиотображения F есть решение задачи вариационного неравенства (2.1).
Теорема 2.9 доказана в [42].
Следующее понятие необходимо для того, чтобы ввести свойства множества решений.