Краевые задачи для системы управлений смешанного типа с негладкой линией вырождения

• Автор: Заикина, Татьяна Борисовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 127 c. : ил

ГЛАВА I. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ

ОБЛАСТИ

§ I. Постановка краевых задач

§ 2. Принципы экстремума. Единственность решения

§ 3. Свойства фундаментальных решений

§ 4. Свойства функций z(:r, = dZdtf

и у&ц) = ]о, ЗД d£ dtj

§ 5. Решение задач jfä , еУ^ , 2D

Глава II. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ

ОБЛАСТИ . .

§ I. Постановка краевых задач

§ 2. Принцип экстремума
§ 3. Задача Коши
§ 4. I-ая задача Дарбу
§ 5. 2-ая задача Дарбу
Глава III. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В СМЕШАННОЙ
ОБЛАСТИ
§ I. Постановка задачи 7]
§ 2. Единственность решения задачи Т£
§ 3. Функциональные соотношения между

§ 4. Сведение задачи Т{ к системе сингулярных
интегральных уравнений

§ 5. Задача Г
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Исследование краевых задач для дифференциальных уравнений смешанного типа является одним из важных направлений современной теории уравнений в частных производных. Первые фундаментальные исследования уравнения смешанного типа были выполнены Ф.Трикоми [ 89 ] в начале двадцатых годов. В тридцатых годах они были продолжены С.Геллерстедтом 1105] , [ 106 ] , [ 107] и др.
Уравнения смешанного типа имеют большое практическое применение, они возникают при решении задач газовой динамики, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в магнитной гидродинамике, в теории электронного рассеяния, в прогнозировании уровня грунтовых вод и в других областях физики и техники, На важность изучения краевых задач для уравнений смешанного типа указано в работах [ 5 ] , [ 7 ] , [ 10 ] , 1 17 ] , [ 19 ] ,
[ 29 ] , [ 45 ] ,[ 92 ] и других.
Существенный вклад в развитие теории уравнений смешанного типа и вырождающихся уравнений внесли советские математики и механики: К.И.Бабенко [б ] , А.В.Бицадзе [п - 1б], М.А.Лаврентьев I 48 ] , А.М.Нахушев [65 - 67 ] , А.И.Янушаускас [95, 96 ] ,
М.М.Смирнов 184 - 86 ] , ГО.М.Березанский 8 ], М.В.Келдыш [44], М.С.Салахитдинов [78 - 82 ] , Н.Раджабов [76 ] , 0.А.Олейник [б8, 69] , А.Джураев [ 31 ] , С.П.Пулысин [74, 75] , В.Ф.Волкодавов [ 22 ] , В.П.Диденко [32 - 35 ] , В.Н.Врагов [23, 24 ] , В.П.Михайлов [б1, 62 ] , С.А.Терсенов [87, 88] , Ф.И.Франкль [ 92 ] ,
Ю.М.Крикунов [46, 47 ] , Т.Ш.Кальменов [40, 41 ] и другие.

2) коэффициенты , В* , - непрерывны в замкнутой области С02 и удовлетворяют условиям (В):
( . «1*0, Г;к±С,
■■■ Яг, I »
ТЕОРЕМА 2.1. Пусть I) (О, Ц) * О ,2) коэффициенты системы уравнений (2.3) удовлетворяют условиям (В),
з) Б^(^) ^ 0 . Тогда, если максимум (£,, у') в
*Ъг положителен, то он хотя бы для одного с достигается на 0А
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть функции -есс у -с* Ау... ,т, /п ± п-достигают положительный максимум в я52 , но ни для одного ■ь этот максимум не достигается на ОА . А остальные функции , -с = п, вообще не достигают положительного максимума в £>г , т.е. они неположительны всюду в <Ог
Функции , ^'= /, Ъ*ЛЪ,у) 1 й
Ъу I ос
Таким образом, точки положительного максимума 0^ ,4.-1,... г т могут быть ЛИШЬ В ©2 и АС .Из этих точек 0^ проведем
отрезки 1^1 - анси , кончающиеся в точках -р^ на ОС .
Так как 0 на [2*, <2,-1 по условию, то после некоторых преобразований, аналогичных [ 85 ] , получим
(Р* «Ол, ' (А 5 % г* “Оъ
Ъ 1*к