Бисингулярные начально-краевые задачи для параболических уравнений

• Автор: Бутузова, Мария Валентиновна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 123 с.

Содержание
Введение
Главаї Бисингулярные линейные параболические задачи
§1 Бисингулярная линейная параболическая задача с негладкими пограничными функциями
1.1 Постановка задачи
1.2 Регулярная часть асимптотики
1.3 Функции пограничного слоя
1.4 Функции внутреннего переходного слоя
1.5 Функции є)
1.6 Теорема об асимптотике решения
1.7 Доказательство леммы 1.
1.8 Доказательство леммы 1.
1.9 Доказательство леммы 1.
§2 Бисингулярная линейная параболическая задача с двумя малыми параметрами
2.1 Постановка задачи
2.2 Регулярная часть асимптотики
2.3 Функции пограничного слоя
2.4 Функции внутреннего переходного слоя
2.5 Функции іогіД£Д, є, д)
2.6 Теорема об асимптотике решения
Глава2 Бисингулярные полулинейные параболические задачи
§1 Бисингулярная полулинейная параболическая задача с негладким вырождением
1.1 Постановка задачи
1.2 Регулярная часть асимптотики
1.3 Функции внутреннего переходного слоя
1.4 Функции шДж, і, є)
1.5 Теорема о существовании и асимптотическом разложении решения

§2 Бисингулярная полулинейная параболическая задача с двумя малыми параметрами
2.1 Постановка задачи
2.2 Регулярная часть асимптотики
2.3 Функции пограничного слоя
2.4 Функции внутреннего переходного слоя
2.5 Функции
2.6 Теорема об асимптотике решения
ГлаваЗ Бисингулярная задача для системы линейных параболических уравнений
§1 Построение асимптотического разложения решения
1.1 Постановка задачи
1.2 Регулярная часть асимптотики
1.3 Функции пограничного слоя
1.4 Функции внутреннего переходного слоя
1.5 Функции №*(£,!,£)
§2 Обоснование построенного асимптотического разложения решения ... 115 Список литературы
Введение
Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения возникают в качестве математических моделей при описании многих процессов физики, химии, биологии. Это вызывает большой интерес к таким уравнениям со стороны математиков.
Начало систематического развития асимптотической теории сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений восходит к работам А.Н.Тихонова [24] - [26]. К
настоящему времени для различных классов сингулярно возмущенных задач развиты разнообразные методы исследования в работах М.Н.Вишика и Л.А.Люстерника [6], [7], А.Б.Васильевой [4], [5], Л.С.Понтрягина, Е.Ф.Мищенко, Н.Х.Розова [14], [12], [13],
А.М.Ильина [8], С.А.Ломова [10], В.П.Маслова [11], В.Г.Сушко [21] и многих других авторов. Среди зарубежнв!Х исследований наиболее известны работы В.Вазова [3],
Н.Левинсона [30], П.Файфа [28], [29].
Вместе с тем, проблема построения асимптотических разложений решений для некоторых классов сингулярно возмущенных задач до сих пор остается актуальной. К числу таких задач относятся так называемые бисингулярные задачи, в которых одна особенность связана с сингулярной зависимостью решения от малого параметра, а другая — с неглад-костью членов асимптотики. В частности, если рассматривается сингулярно возмущенная задача в области с негладкой границей, и дифференциальный оператор, описывающий какие-либо члены асимптотики, является гиперболическим, то на характеристиках, проходящих через угловые точки границы, может происходить потеря гладкости этих членов асимптотики. Одним из мощных методов построения асимптотики произвольного порядка решений бисингулярных задач является метод сращивания асимптотических разложений (см., например, [8]).Однако этот метод достаточно сложен для обоснования. Построение и обоснование асимптотических представлений нулевого и первого порядков можно осуществить с помощью более простой процедуры сглаживания негладких членов асимптотики (см., например, [2]).
В работах В.Г.Сушко (см. [21], а также [1], [15], [17] - [20], [22], [23]) развиты методы, позволяющие для некоторых классов бисингулярных задач построить асимптотику произвольного порядка без использования метода сращивания. Так, в работе [1] построено асимптотическое разложение решения первой краевой задачи в полуполосе для линейного сингулярно возмущенного параболического уравнения в случае наличия угловой характеристики у вырожденного уравнения.
Исследованные в данной работе задачи примыкают к задаче, рассмотренной в [1]. Предложенные ниже способы построения асимптотических разложений являются дальнейшим развитием идей работы [1] с определенными модификациями.

При ( = 0 функции W2 И W-2 отличны от нуля, т.е. вносят невязки в граничное условие (55). Из оценок функций w2 и w2 следует, что эти невязки (ew2 и ew2) являются, соответственно, величинами порядка 0(е3/2) и 0{г2). Мы устраним их при построении функций w3 и w4. Отметим также, что функции w2 и w2 удовлетворяют нулевому начальному условию.
Итак, функция y/swi(£, t,s) + ew2(£,t,e) удовлетворяет нулевому начальному условию, уравнению (53) с точностью до величин порядка 0(е3'2), граничному условию (51) с точностью до величин порядка 0(е3/,г), и для функции w2(£,t,e) имеют место оценки типа (62) - (64) с р = 1,1 ~ 3, т = 4, п = 5.
Функции Wk при к > 3 определяются аналогично w2. Задача для функции «д имеет

LwWk = - 7-Як l(C- 1-, '-) ~f~ Хк{£, ft ■}&)•>

wk(0,t,e) = -vk - -^г5к_1(0,*,е) - iu?*_2(0,t,e),
*»*(£, 0,e) = 0,
где = LVJWk-i- Как и в случае с функцией w2 возьмем не точное решение этой задачи (оно не имеет явного представления), а функцию
u>k((, t, е) = «>*(£, t, е) + *»*(£, t, s) + Wk(£, t, e),

wfc(f Д s) = — „ /—г f
67Г Jo
ХЖ («Р L tMdl±M^LA,
p(A)? 4e(t-A) J
~ ,t * 1 /'* dX f+°° < n Pi*) _ f [f-6(^e) + 6(A,e)-s]2'|
“*(£> *>e) - 2gv^ /0 J0 9k-i{*, e) ?(д) exp j 4g(i _ д) j
- ,t t л 1 fl dx f+°° , >, p(*) f К-6(^£) + &(А,е)-з]
^ ‘e) " 2д/е7г Jo y/T=A Jo Xk{3’ ’£) ДА) 6XP I 4e(t - A)
1 p Vk(—£о(А,е)/-у/£, A) + (1/Дё)цд_1(0, A,e) + (l/g)wfc-2(0, A,e) 2i/e7r io (1 — A)3/
Используя метод математической индукции и те же приемы доказательства, что и в леммах 1.3, 1.4, можно доказать следующее утверждение.
Лемма 1.5 Для функций Щ(£, <,е), гйД£,£,£), $*,(£, £,«:) «