Структура обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби-Беллмана и квазилинейных уравнений

• Автор: Колпакова, Екатерина Алексеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 121 с. : ил.

Содержание
Введение

Основные обозначения

1 Задача Коши для уравнения Гамильтона—Якоби— Веллмана (Р1).

1.1 Общие сведения

1.1.1 Постановка задачи Р1 и предположения

1.1.2 Инструменты негладкого анализа

1.1.3 Определение обобщенного решения задачи Р

1.2 Структура минимаксного решения

1.2.1 Свойства характеристик в задаче Р

1.2.2 Структура минимаксного решения задачи Р

1.3 Описание множества сингулярности минимаксного решения.
1.4 Одномерный случай стационарной задачи Коши
2 Задача Коши для квазилинейного уравнения первого порядка (Р2).
2.1 Определение обобщенного решения квазилинейного уравнения
2.1.1 Постановка задачи Р2 и предположения
2.1.2 Локальное обобщенное решение
2.1.3 Глобальное обобщенное решение
Содержание
2.2 Теоремы существования и единственности глобального обобщенного решения
2.2.1 Стационарный случай
2.3 Другие подходы к определению обобщенного решения
2.3.1 Слабое и энтропийное решения задачи Р
2.3.2 Связи обобщенных решений задачи Р
3 Связь обобщенных решений задач Р, Р2.
3.1 Потенциал для обобщенного решения задачи Р
3.2 Репрезентативная формула для решения задачи Р
3.3 Свойства множества сингулярности минимаксного решения задачи Р
3.4 Связь с формулами Лакса Хопфа и Лакса- Олейник
3.5 Пример
4 Задача оптимального управления.
4.1 Общие сведения
4.2 Исследование свойств оптимального управления
4.3 Численный метод построения оптимального управления
4.3.1 Алгоритм численного метода
4.3.2 Параметры аппроксимации
4.3.3 Оценки предложенного численного метода
4.4 Примеры
4.4.1 Пример
4.4.2 Пример
4.4.3 Оценки
Литература

Введение
Общая характеристика работы
Диссертация посвящена исследованию структуры и связей обобщенных решений в задаче Коши для уравнения Гамильтона—Якоби—Веллмана и квазилинейного уравнения первого порядка. Изучена роль классических характеристик этих уравнений в конструкциях обобщенных решений. Рассмотрены приложения полученных теоретических результатов к решению задач оптимального управления.
Актуальность темы
При описании большого числа физических процессов возникают нелинейные уравнения в частных производных первого порядка. Одним из таких уравнений является уравнение Гамильтона— Якоби, решения которого используются при описании движения тел в рамках классической механики. Существует тесная связь уравнений типа Гамильтона—Якоби с задачами динамической оптимизации, которые рассматриваются в вариационном исчислении, в теории оптимального управления и дифференциальных играх. Для задачи динамической оптимизации определена функция цены, которая каждому начальному состоянию динамической системы ставит в соответствие оптимальное значение функционала платы. Функция цены, как правило, негладкая, но в точках дифференцируемости удовлетворяет соответствующему уравнению Гамильтона— Якоби.
Глава 1. Задача Коши для уравнения Гамильтона—Якоби—Веллмана (Р1).

Теорема 2. Пусть выполнены условия А1-АЗ. Для того, чтобы точка (£,£■) 6 <3 необходимо и достаточно, чтобы существовали £1,^2 £ К”, £1 ф ^2; для которых выполнены соотношения
х(ь,€1) = х(ь,&) = х, 5(г,Ы = Щ, 6) = ¥’(*, х), Ф (1-3.1)
Доказательство. Необходимость. Покажем, что если (4, х) £ <3, то су-пердиффереициал минимаксного решения, представимый в виде (1.1.10), должен состоять не из единственного элемента. Допустим противное, и супердифференциал П+ср(1,х) состоит из единственного элемента (а0, я0).
Тогда в силу замечания 2 <Эс<д(£, х) = И+ {(-#(£, ж, я(£,£)),я(£,£))} = {(о0, я0)}. Отметим, что функция (/?(-,-) дифференцируема по любому направлению в силу замечания 3. Согласно (1.1.11), имеем
=<(«“, л (1,/)), У/€Г.
Из этого равенства и свойств сунердифференциала , ж) и субдифференциала х) (см., например, [91], с. 298) вытекает
£>(*, 1)Д(а,8)£1х Ж” : ((а, я), (1, /)) - < 0, V / £ Мп},
(а0, я0) £ Л~ Согласно определению 1 функция <р(Ь,х) в точке (£,ж) дифференцируема. Противоречие с тем, что (Сх) £ д.
Значит, существуют хотя бы две характеристики £(*,£1), я(-,ф), Д-,Д), &(■,&), £(■,&), Д-,&), 6 Ф Ь такие, что £(г,6) = £(£,&) = ^(£,ф) =
5(£,^2) = <д(£,ж), я(£,ф) я(£,ф). Эти равенства совпадают с условием
(1.3.1).
Достаточность. Пусть в точке (£,ж) выполнено условие (1.3.1). Согласно утверждению 3, супердифференциал минимаксного решения в точке (£,.т;) содержит элементы (—Я(£, х, я(£, ф)), я(£, ф)),