Разложение решений уравнения Карлемана-Векуа в ряды обобщенных степенных функций и некоторые задачи теории оболочек

• Автор: Калдани, Нерон Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Тбилиси
• Количество страниц: 131 c. : ил

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
§ 1.1. Функциональные пространства и интегральные
операторы
§ 1.2. Некоторые сведения из теории обобщенных
аналитических функций
§ 1.3. Комплексная сопряженно изометрическая параметризация поверхности положительной кривизны
Глава II. РАЗЛОЖЕНИЕ ЯДЕР УРАВНЕНИЯ КАРЛЕМАНА-ВЕКУА В РЯДЫ ОБОБЩЕННЫХ СТЕПЕННЫХ ФУНКЦИЙ И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
§ 2.1. Некоторые свойства обобщенных степенных
функций
§ 2.2. Разложение ядер уравнения Карлемана-Векуа в
ряды обобщенных степенных функций
§ 2.3. Некоторые применения разложений ядер уравнения Карлемана-Векуа
Глава III. УРАВНЕНИЯ КАРЛЕМАНА-ВЕКУА И БЕЛЬТРАМИ С ПАРАМЕТРАМИ
§ 3.1. Уравнение Карлемана-Векуа с параметром
§ 3.2. Уравнение Бельтрами с параметром
Глава IV. ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
§ 4.1. Вывод основных уравнений
§ 4.2. Сопряженно изометрическая параметризация
выпуклой оболочки
§ 4.3. Равновесие выпуклой замкнутой оболочки ... 112 ЛИТЕРАТУРА
Теория обобщенных аналитических функций имеет глубокие связи со многими разделами анализа, геометрии и механики. Аналитический аппарат этой теории позволяет существенно расширить и углубить исследование ряда задач, имеющих значительный не только теоретический, но и практический интерес. В свою очередь, связь с реальными объектами исследования наполняет эту теорию конкретным содержанием и способствует ее развитию. Это обстоятельство несомненно указывает на важность и актуальность исследований по теории обобщенных аналитических функций.
Теория обобщенных аналитических функций является теорией функций и? = и (сс,у) + 1л/(ос,у) точки 2 = ос. +1 у } удовлетворяющих уравнению Карлемана-Векуа
0 иа+АиУ+Вйг = 0, (1)
г г гЧсс
и представляет собой далеко идущее обобщение классической теории аналитических функций от 2 = ос+1уУравнение (I) эквивалентно системе вещественных уравнений
Эи _Э^.+ аи + В/=0,
'дсс Эу
(2)
эи ,ЭУ + си+0/=О,
0сс 9^
являющейся канонической формой равномерно эллиптической системы уравнений более общего вида с достаточно гладкими коэффициентами

Начало изучения эллиптических систем еидэ (3) восходит к Пикару [ 53], высказавшего идею о возможности построения теории функций иН = и (эс,у)+ 1л/(ос,у), действительная и мнимая части которых являются решением системы (3), по аналогии с теорией аналитических функций комплексного переменного 2 = ос + I у . Попытка построения такой теории была предпринята Бельтрами [42, 43].
В 1931 году Н.Теодореску [54] (см. также [55]), рассматривая систему (2) в частном случае С = - 6 , с1 = а. (в (I) это соответствует случаю 8=0 ), получил общее представление ее решений через аналитические функции от 2 = ос + Ь и . Чуть позже Т.Карлеман [50] доказал фундаментальное свойство решений системы (2) - теорему единственности.
Интерес к системе вида (3) снова появился в сороковых годах XX в. В работах Л.Берса и А.Гельбарта [47 , 48], Г.Н.Положил [35, 36], Б.В.Шабата [41], А.Вейнштейна [56] и др. исследовались различные классы систем вида (3). Характерной чертой для этих исследований является применение различных обобщений понятий производнйй и интеграла. Таким же способом была построена Л.Берсом теория псевдоаналитических функций (см. [44], а также Г45, 46, 49]).
Одновременно и независимо от Л.Берса полная теория функций, удовлетворяющих уравнению (I), ныне именуемая теорией обобщенных аналитических функций, была построена И.Н.Векуа и опубликована в фундаментальной работе [8]. В этой работе получены представления первого и второго рода обобщенных аналитических функций через аналитические функции; вводятся ядра уравнения (I), с помощью которых строится обобщенный интеграл типа Коши, выводится обобщенная интегральная формула Коши; получены разложения обобщенных аналитических функций в обобщенные степенные ряды 1-го рода; изучается широкий класс краевых задач для уравнения (I); указаны

Учитывая эти равенства, из (12) получаем:
Єіт ік,т(иЛ)=Є;т ік,„(Хгй)=іР! —*
Следовательно, в рассматриваемом случае имеет место равенство:
Ч,„(щг) = ік,т(чг)=і
б) К и т - нечетные числа. Тогда в силу (4)
,(и) (V)
(г 2 ) = т ?С (г, 0
К,т V о’ о/ К,т ’
2 —► оо
и, аналогично предыдущему случаю,
I (11Г) = Т ( V,Г’) = -!.
К, т » ' К,т 4 ’ '
в) К и т - числа разной четности. В этом случае
, (и) (V)
^ (г, АР Єіт *Кіт(г,%)=Ъ

и, следовательно,
Єіт ^О^-йті (у.д-о.
Я-ЬО Я-^ОО
Таким образом, в силу (II) имеем
ік,т(ЩГ)=і„„Дчг>о.
Теорема доказана.
Напишем теперь формулы вида (6) для обобщенных степенных функций класса Сй* (-А,-В) :