Задача Коши со многими "временами" в пространствах аналитических функций

• Автор: Черников, Геннадий Витальевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1997
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 88 с. : ил.

Оглавление

Введение. іи.

Общая характеристика работы

Г лава 0. Постановка основной задачи

§ 1. Задача Коши с многомерным “временем”.

§ 2. О способах задания начальных данных для задачи Коши.

Глава 1. Задача Коши в пространствах аналитических функций со

степенными особенностями

§ 1. Задача Коши в пространствах с цилиндрической эволюцией. 9 §2. Задача Коши в пространстве 6(1/. '22' _). 2)
10,О
§ 3. Задача Коши в пространствах с конической эволюцией
§ 4. Задача Коши в пространстве 0( и,, )
Г лава 2. Задача Коши в пространствах экспоненциальных функций. чэ
§ 1. Задача Коши в пространстве 0(1/1 е Ехрргч( Cf )). чз
§ 2. Задача Коши в пространстве б{ Ьт: в;Ехр'рг (С¥)). ъг
§ 3. Задача Коши в шкалах экспоненциальных функций с

эволюцией по I.
§ 4. Задача Коши в пространстве 0{ I/р5, Ехр' 1 ? (Си_ ) ). 7«
Список использованных источников
Введение
В общей теории дифференциальных уравнений с комплексными аргументами задача с начальными данными — задача Коши, занимает особое положение. По сути являясь отправным пунктом общей теории уравнений е частными производными, она была глубоко исследована классиками начиная с середины прошлого века. В настоящее время теория задачи Коши пользуется пристальным вниманием математиков всего мира и постоянно пополняется новыми результатами.
В русле общей теории задачи Коши ясно выделились некоторые специальные разделы, в том числе аналитическая теория задачи Коши, известная под общим названием теории Коши-Ковалевской, экспоненциальная теория, появившаяся относительно недавно и получившая широкое развитие в связи с исследованиями в области псевдодифференциальных уравнений.
Настоящая работа продолжает исследования в этих направлениях, расширяя содержание теории на некоторые не исследованные ранее типы систем дифференциальных уравнений с частными производными, выявляя новые и обобщая ранее полученные результаты.
Интерес к совместному исследованию аналитической и экспоненциальной теории задачи Коши не случаен. Он определяется тем фактом, что обе эти теории двойственны друг другу по Фурье так, что, с одной стороны, корректная разрешимость в пространствах аналитических функций (функционалов) влечет корректную разрешимость в пространстве экспоненциальных функционалов (функций); с другой стороны, имеется прямая связь между корректной разрешимостью в основных и сопряженных пространствах1.
Исторически начало исследований систем линейных дифференциальных уравнений с начальными данными восходит к работам О. Коши. Он изучал локальную разрешимость системы следующего вида
й См. работы: Ю.А.Дубинский [1],[23], ЛХермандер [24], В.В.Напалков [22], Стейнберг [21] и ДР-

с аналитическими в окрестности точки (гц,20) е Ск коэффициентами и правыми частями, вместе с начальными данными
д*и.

= (рЛг), к - 0

где >f(z) — аналитические функции.
При этом, если порядки дифференциальных операторов Ак удовлетво-ряли условиям
ordAfc tj I
то в некоторой окрестности точки (tn,zn), вообще говоря, меньшей чем исходная, существует и единственно аналитическое решение u{t,z).
Более того, как показала С.В. Ковалевская, если эти условия нарушены, то аналитической разрешимости может не быть. Однако доказать, что это условия являются необходимыми для корректной разрешимости аналитической задачи Коши удалось намного позднее. Это сделал в 1974 г. С. Мизохата [4] и лишь для случая одного уравнения (М=1). Вопрос о необходимых условиях для общего случай системы произвольного порядка остается открытым по сей день.
В 1964 г. Ж. Лере, Л. Гординг, Т. Котаке [5] показали для аналитической разрешимости систем вида (1) достаточно выполнения более общих условий (условий Лере-Волевича)
(*) or dAk. ' ' tj г з г
где тх
Как показал Ю.А. Дубинский [6], вопрос о корректной разрешимости аналитической задачи Коши в первую очередь связан с самой постановкой задачи, а точнее с геометрией распространения возможных особенностей решения. Если особенности распространяются по “боковой поверхности” цилиндра, то необходимыми и достаточными будут условия
(**) ord Ак<т-т
' 1 tj г з