Исследование скорости сходимости спектральных разложений обыкновенных дифференциальных операторов

• Автор: Марков, Алексей Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 122 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Оценки скорости локальной равносходимости спектральных
разложений для операторов произвольного чётного порядка
1.1. Основные понятия и обозначения для глав
1.2. Оценки скорости локальной равносходимости спектральных разложений для оператора второго порядка
1.3. Оценки скорости локальной равносходимости спектральных разложений для оператора произвольного чётного порядка
1.4. Оценки скорости локальной равносходимости спектральных разложений для оператора второго порядка с матричными коэффициентами
1.5. Оценки скорости локальной равносходимости спектральных разложений для оператора произвольного чётного порядка с матричными коэффициентами
Глава 2. Оценки скорости локальной равносходимости спектральных
разложений для операторов произвольного нечётного порядка .
2.1. Оценки скорости локальной равносходимости спектральных разложений для оператора первого порядка
2.2. Оценки скорости локальной равносходимости спектральных разложений для оператора произвольного нечётного порядка
2.3. Оценки скорости локальной равносходимости спектральных разложений для оператора первого порядка с матричными коэффициентами
2.4. Оценки скорости локальной равносходимости спектральных разложений для оператора произвольного нечётного порядка с матричными коэффициентами

Глава 3. Оценки скорости равносходимости спектральных разложений для операторов произвольного чётного порядка на всём интервале
3.1. Оценки скорости равносходимости спектральных разложений для оператора второго порядка на всём интервале
3.2. Оценки скорости равносходимости спектральных разложений для оператора произвольного чётного порядка на всём интервале
3.3. Оценки скорости равносходимости спектральных разложений для оператора второго порядка с матричными коэффициентами на всём интервале
3.4. Оценки скорости равносходимости спектральных разложений для оператора произвольного чётного порядка с матричными коэффициентами на всём интервале
Глава 4. Оценки скорости равносходимости спектральных разложений для операторов произвольного нечётного порядка на всём интервале
4.1. Оценки скорости равносходимости спектральных разложений для оператора произвольного нечётного порядка на всём интервале
4.2. Оценки скорости равносходимости спектральных разложений для оператора произвольного нечётного порядка с матричными коэффициентами на всём интервале
Заключение
Список литературы

Введение
В данной работе исследуются специальные функциональные ряды, полученные в результате разложения функций по собственным и присоединённым (корневым) функциям несамосопряжённых обыкновенных линейных дифференциальных операторов с негладкими коэффициентами, заданных на конечном интервале числовой прямой. Решается задача о выяснении вопросов сходимости и скорости сходимости рядов для этого класса операторов.
Для решения этой задачи указанные ряды сравниваются с тригонометрическими рядами Фурье (ТРФ), которые получаются при разложении тех же функций по тригонометрической системе. Особенностью подхода является рассмотрение дифференциальных операторов на некотором классе функций без явного задания краевых условий. Сужение операторов задаётся так называемыми условиями Ильина на спектр и корневые функции этих операторов. Для проверки этих условий нужно знать, является ли полной/замкнутой система корневых функций в некотором пространстве Ьр{0,1) и требуется знание асимптотик спектра и корневых функций.
Поскольку этих данных для применения в конкретных задачах рядов по корневым функциям недостаточно, результаты данной работы позволяют заменить их тригонометрическими рядами (для которых разработан богатый математический и вычислительный аппарат), учитывая полученную в работе оценку погрешности этой операции.
В работе рассмотрены дифференциальные операторы произвольного (чётного и нечётного) порядка, как в скалярном, так и в матричном случаях. Результаты также применимы к обычной системе экспонент, к различным системам синусов и системам косинусов. Для получения результатов не предполагается наличие сопряжённого оператора у рассматриваемых операторов. Это позволяет не накладывать условий гладкости на коэффициенты операторов, а краевые условия рассматривать самые разнообразные, либо вообще обходиться без краевых условий (налагая ограничения

II) В случае ||у>1111 Ф 0 для первого слагаемого выводим оценку 0(А-1); второе слагаемое имеет оценки 0{~ип~р+г А) при и < 1, 0(А-11п-/3+2 А) при и — 1 и 0(А~11п_/5+1 А) при и > 1, третье и четвёртое слагаемые - оценку 0(А~" 1п_/?+1 А), а последнее слагаемое - оценку 0(А~1' 1п~,0+2 А).
Таким образом, для выражения во второй квадратной скобки в случае ЦР1Ц1 ф О справедлива оценка
г=°НЗ’зШ> (1-2-41)
Объединяя попарно оценки (1.2.39), (1.2.40) и (1.2.39), (1.2.41), получаем оценку суммы 5г(ж) при ЦР1Ц1 = 0 и при ЦР1Ц1 ^0в виде
ад = о(т«(1 ПиН.АВА-)). (1.2.42)
Оценивая сумму £3(2), содержащую коэффициент р(х), будем использовать полученное в работах [? ], [34] неравенство ||гф||оо < с(1 + |А^|)||г*л;||оо, справедливое при Условиях А1. По условию р{х) € /Р(С). Рассмотрим сначала случай в > р, тогда р € СР{С1). Используя под знаком интеграла указанное неравенство, переходя от нормы суммы к сумме норм и применяя обобщённое неравенство Минковского к £Р—норме следующего интеграла

J{x) =
50[|Ко(А, А,, т, ^)|]5т(|Р1(а:)|) йг, (1.2.43)
получаем оценку ||£з||р,/с < щЦрфр X) |ЛА^|50[Л].(А, 0, Яа, Д)], р > 1, где также на

последнем шаге воспользовались соотношением (1.2.25). Сравнивая правую часть последнего неравенства с формулой (1.2.38), заключаем, что для НЗзЦрдс в случае я > р имеет место оценка (1.2.42).
Пусть в < р. Проведём те же преобразования, что и в случае в > р, но к интегралу (1.2.43) применим неравенство Юнга: ||Т||Р)л- < 2||р!113 |[5,о[|Л'о]|и,(о,я0) < 2||р1||55о[44£(А, 0, До, Я)], где также использовали соотношение (1.2.25). Параметр к