Дифференциальные уравнения и включения с производными в среднем

• Автор: Азарина, Светлана Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 114 с.

1 Предварительные сведения

1.1 Основные сведения из теории с.д.у

1.1.1 Случай линейных пространств

1.1.2 Случай римановых многообразий

1.2 Описание уравнений Ланжевена

1.3 Многозначные отображения

1.4 Многообразие соболевских петель

1.5 Классические производные в среднем

1.5.1 Производные в среднем вГ

1.5.2 Производные в среднем на многообразии

2 Уравнения и включения с производными в среднем в евклидовом пространстве

2.1 Квадратичная производная в среднем
2.2 Уравнения с производными в среднем справа
2.3 Включения с производными в среднем справа

2.4 Уравнения и включения с текущими
скоростями
3 Уравнения и включения с производными в среднем на римановом многообразии
3.1 Уравнения с производными в среднем справа
3.2 Включения с производными в среднем справа
4 Включения Ланжевена
4.1 Описание включения Ланжевена в терминах
ковариантных производных в среднем
4.2 Теорема существования решения включения Ланжевена с многозначным диффузионным
членом
5 Уравнения на многообразии петель
5.1 Существование решения уравнения Ито
5.2 Уравнение с производными в среднем справа
Литература

Понятие производных в среднем было введено Э.Нельсоном (см. [1], [2], [3]) для нужд построенной им стохастической механики (вариант квантовой механики). Уравнение движения в этой теории (так называемое уравнение Ньютона-Нельсона) было первым примером уравнений с производными в среднем. Затем было показано, что в терминах уравнений с производными в среднем описывается движение вязкой несжимаемой жидкости (см., например, [4, 5, 6]), а также вихри в ней (см., например, [7]). В работах Ю.Е. Гликлиха [8, 9] (см. также [6]) было начато изучение уравнений с производными в среднем как отдельного класса стохастических дифференциальных уравнений.
Во всех указанных выше случаях решения уравнений предполагались процессами Ито диффузионного типа (или даже марковскими диффузионными процессами) с известным диффузионным членом, так как классические производные в среднем по Нельсону описывают только снос диффузионного процесса. Поэтому возникает задача построения иной производной в среднем, связанной с коэффициентом диффузии, что позволило бы корректно поставить задачу о нахождении процесса по его производным в среднем.
Начиная с работ Э.Д. Конвея [10], Ж.П. Обена и Дж. Да Прато [11]

а(Ь,х). Измеримое по Борелю многозначное отображение а(Ь,х) имеет измеримое однозначное сечение а(£, х). Тогда уравнение
| Щг) = а((, £(<)),
ВД«) = а((,{(4)) удовлетворяет условиям теоремы 2.8 и, следовательно, имеет слабое
решение, которое очевидным образом является и решением (2.7). ■
В случае, когда и ск(£, х), и а(£, ж) полунепрерывны снизу, имеют замкнутые выпуклые значения в Б+, удовлетворяют оценкам из условия теоремы 2.14 и известно, что непрерывное сечение а(£, х) отображения а{1, х) (которое существует по теореме Майкла) представимо в виде а{Ь,х) = ./!(£, ж)Л*(£, ж) с непрерывным А[Ь,х), нетрудно доказать существование слабого решения для (2.7) путем сведения к теореме 2.9.
Для случая, когда а(Ь,х) и а(£,ж) не имеют непрерывных сечений, докажем следующее утверждение о существовании слабого решения.
Теорема 2.15 Пусть а(£,ж) - ограниченное измеримое по Борелю многозначное отображение из [0;Т] х Мл е М" с замкнутыми значениями. Предположим, что многозначное отображение с*(£,ж) из [0; Т] хЕ*1 в Б+(п) ограниченно, измеримо по Борелю и имеет замкнутые выпуклые значения, а также существует £о > 0 такое, что для всех х Ео-окрестностъ множества а{Ь,х) в Б(п) не пересекает множество Бо(п) симметрических вырожденных пхп матриц.
Тогда для любого начального условия 6(0) = £о Е Мп включение (2.7) имеет слабое решение.
Доказательство. Так как а(£, х) и cx.it,х) являются измеримыми по Борелю многозначными отображениями, то они имеют изме-