Уравнения составного типа третьего и четвертого порядков со спектральным параметром

• Автор: Каверина, Ирина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 106 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Оглавление
Введение
Глава I. Задачи на собственные значения для линейных уравнений составного типа третьего и четвертого порядков
§ 1. Задачи Девиса со спектральным параметром
в прямоугольной области
§ 2. Нелокальные краевые задачи для уравнения третьего порядка составного типа
§ 3. Задачи на собственные значения для уравнений четвертого порядка составного типа
Глава II. Интегральные представления решений линейных задач. Ветвление решений некоторых краевых задач для нелинейно возмущенных уравнений составного типа
„ , тт „ ЗДи
§ 1. Интегральное представление решении для уравнения = f(x,y) в прямоугольнике
§ 2. Ветвление решений нелинейно возмущенной задачи D3
§ 3. Интегральное представление решений задачи S4
§ 4. Интегральное представление решений задачи S4. Ветвление решений нелинейно возмущенной задачи S*
Приложение
Литература
ВВЕДЕНИЕ
Теория неклассических краевых задач развивается около 50-ти последних лет и заняла одно из ведущих мест в современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Первые результаты в этой теории были получены Ф. Трикоми [85], Ф.И. Франклем [86] и одновременно нашли применение в газовой динамике. Современное естествознание, в основном технические проблемы физических приложений, потребовали дельнейшего развития неклассических краевых задач, в первую очередь краевых задач с нелокальными граничными условиями [5, 34, 59, 11, 25, 17 ]. Одновременно начала развиваться также теория уравнений, с вырождающимися коэффициентами и вырождающихся на границе области. Эти уравнения нашли применения в га-зо- и гидродинамике и, вообще, в различных разделах механики сплошных сред.
К нелокальным краевым задачам относятся задачи типа Франкля для уравнений смешанного типа [8, 80, 70, 71]. В работах К.Б. Сабитова [70, 71] решена задача Франкля для уравнения Чаплыгина и найдены [68] собственные значения и собственные функции спектральной задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Важным классом нелокальных краевых задач являются задачи со смещениями в частности с периодическими граничными условиями. Их теория для уравнений различных типов развивалась во многих работах [12, 11, 37, 38, 17, 4, 23, 48, 66, 67]. В монографии А.М. Нахушева [61] дано определение локальной и нелокальной задач и приведена классификация последних. Эта монография содержит многие примеры практического применения краевых задач с интегральными условиями ( задачи математической биологии и влагопереноса в пористых средах ). Особенно интересны случаи интегральных граничных условий. Например, А.А. Самарский [73] приводит постановку задачи с интегральным условием для уравнения теплопроводности как пример одной из задач, возникающей при изучении физики плазмы. Отметим, что в работе Л.С. Пулькиной [65] получен явный вид соответствующего решения. Среди последних работ в этом направлении отметим зарубежные [91, 97, 98, 99], относящиеся к уравнениям параболического типа, имеющие прикладной характер, а также работу З.А. Нахушевой [62]. Задачи с интегральными условиями для уравнений гиперболического типа исследова-
лись в работах Самарской школы В.Ф. Волкодавовым [18, 20], A.C. Пульки-ной [64], Н.Д. Голубевой [24].
В излагаемой истории развития неклассических краевых задач преобладают уравнения второго порядка. Уравнения более высокого порядка остаются малоисследованными вплоть до настоящего времени. После первых работ J. Hadamard [96], О. Sjöstrand [103, 104], L. Cattabriga [92, 93], R.B. Devis [94, 95], W. Wasow [105] проходит значительный промежуток времени до возобновления интереса к неклассическим задачам для уравнений с частными производными высоких порядков. Появляются работы В.И. Жегалова [32, 33] посвященные уравнениям смешанного типа четвертого порядка, A.B. Бицадзе и М.С. Салахитдинова [10], Т.Д. Джураева [27, 28], В.Н. Врагова [22], в которых исследованы уравнения смешанно-составного типа, монография М.М. Смирнова [79], относящаяся к уравнениям смешанного типа четвертого порядка, L. Wolfersdorfa [106], в которой рассмотрена задача Сёстранда для модельного уравнения третьего порядка. В работах Самарской школы также рассматривались неклассические краевые задачи для уравнений высоких порядков. Это исследования В.Ф. Волкодавова и С.П. Соловьева [19],
В.В. Азовского и В.Г. Волика [1].
Неклассические задачи для уравнений третьего и четвертого порядков находят многочисленное применение в моделировании процессов естествознания. Сюда относятся работы С.П. Тимошенко [81], Г.С. Писаренко [63] посвященные теории колебаний механических систем, A.C. Вольмира [21], относящиеся к теории устойчивости механических систем. В монографии H.A. Ларькина [45] излагаются результаты математической теории асимптотических уравнений трансзвуковой газовой динамики, рассмотрены постановки краевых задач для стационарных и нестационарных уравнений (смешанного типа в главе III и составного типа в IV), моделирующих процессы газовой динамики. В работе С.Н. Глазатова [23] исследуются периодические трансзвуковые течения вязкого газа, описываемые нелинейным уравнением третьего порядка. Уравнение составного типа возникает в работе И.Е. Тарапова [82] при исследовании течений вязкой несжимаемой жидкости с распределенными источниками массы в каналах с проницаемыми стенками. Некоторые явления в теории колебаний и устойчивости вязко-упругих систем о распределенными параметрами (см. монографию Ю.Н. Санкина [74] ) описываются уравнения-
При р < 0 в (48) не существует нетривиальных решений, поэтому представляет интерес только случай, когда параметр ц положителен. Общее решение уравнения (48) записывается в виде ¥(у) = Cj cos-py + с2 sin-Уру. Использование граничных условий дает систему для определения постоянных
с, и с,
Г с, (1 - cos-Уру,) - С2 sin vpy 1 = о,
[с, (cos -Ур - cos -Уру2 ) - с2 (sin Ур - sin Уру2) = О,
с определителем - 4 sin ~ у, sin - (1 - у2) sin ™ (1 + у, - у1).
Отсюда находим
(2л/7Л| (2ктЛ 2л/ , , „
Ц„ =
V Л J к-1->2 J 1 + У2 -1
Исследуя отдельно каждое из значений (49), получим следующие случаи 1 п (2жп
1. При р = р„ =
V У_)
постоянных Cj, / = 1,2 (первое уравнение исчезает, т.к. его коэффициенты оказываются равными нулю)
э жкп 2 sin — (1 - У.2 )

КП 71П
- с, sin — (1 + у7) + с, cos — (1 + у2 ) Ух Ух
Различаем поэтому два случая
ПП ТТ.П Т1П
/„) sin—(1-у2)*0, тогда — с, sin—(l + y2) + c2cos—(1 + у2) = 0,
У У У
яп ,
с2 = СЩ—(1 + У2 )> С1 " произвольная постоянная, а Ух
, . 2лП 71/7 „ . 2я/7 Л77Г
(у) = С1 cos
Ух Ух Ух Ух
~Уг s 1 / ч
если
У П