Об описании свойств отображений по их дифференциальным характеристикам

• Автор: Игумнов, Александр Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Волгоград
• Количество страниц: 101 с.

1 Общий интегрирующий множитель семейства дифференциальных 1-форм

1.1 Определения и обозначения. Краткие сведения о дифференциальных формах. Связь с задачей о восстановлении отображения

по нормированной матрице Якоби

1.2 Нахождение интегрирующего множителя

2 Восстановление отображения по нормированной матрице Якоби на гиперплоскостях

2.1 Специальный вид интегрального оператора

2.2 Восстановление отображения по нормированной матрице Якоби

на гиперплоскостях

3 Теоремы о неявной функции

3.1 Теоремы о неявной функции, основывающиеся на теореме Картава

3.2 Комплексный вариант теорем о неявной функции

3.3 Варианты теорем о неявной функции с производной Кларка
3.4 Примеры
Список литературы
Приложение

Настоящая работа посвящена описанию свойств отображений по их дифференциальным характеристикам при различных способах задания отображения.
Понятие характеристики отображения было введено М. А. Лаврентьевым в рамках теории квазиконформных отображений ([53] - [58]). Характеристиками отображения / : Б —* называются числовые параметры отображения, заданные в И С Я", и определяющие почти в каждой точке і Є О эллипсоид или параллелепипед, которые под действием дифференциала с1х/ переходят в сферу или, соответственно, куб со сторонами, сонаправленными векторам некоторого ортонормированного базиса в К".
Задание характеристик квазиконформности отображения определяет дифференциальные уравнения, описывающие квазиконформные отображения. В пространственном случае эти уравнения составляют нелинейную переопределенную систему.
В случае задания характеристик первого типа уравнение, описывающее отображение /, имеет вид
где Т означает транспонирование, J(x, /) = с?е£ /г(х), С?(х) — матрица, задающая некоторую риманову метрику на Лп.
При п = 2 уравнение (1), записанное в комплексной форме, эквивалентно уравнению Бельтрами
где ц(г) — некоторая функция, определяемая характеристиками отображения / и называемая комплексной характеристикой.
Уравнения вида (1) исследовались в работах Вейля, Схоутена [14, 65, 66]. Уравнения вида (2) исследовались в работах М.А. Лаврентьева, Л. Альфорса, И.Н. Векуа, Л. Берса, Б.В. Боярского и другими ([3, 5, 7, 11, 15]).
Характеристики второго типа рассматривались М.А. Лаврентьевым в работах [53, 55, 56, 57]. Такие характеристики возникают в определениях классов квазиконформных отображений, удовлетворяющих нелинейным сильно эллиптическим системам уравнений. М.А. Лаврентьев доказал основную те-
(1)
М*) - /*(*)/»(*)»
(2)
орему существования квазиконформных отображений нелинейных классов, получившую приложения в задачах механики сплошных сред [50, 58].
Сейчас теория квазиконформных отображений является далеко продвинутым разделом математического анализа. Ряд задач, лежащих на стыке теории квазиконформных отображений и теории пространств Соболева изучен в работах Ю.Г. Решетняка, С.К. Водопьянова, В.М. Гольдштейна, А.П. Копылова, В.М. Миклюкова [16] -[19], [44, 51].
В работах И.В. Журавлева [21]-[27] представлены результаты нового подхода к описанию отображений с ограниченным искажением, основанного на использовании матричнозначной характеристики квазиконформных отображений — нормированной матрицы Якоби. В этом случае дифференциальное уравнение, описывающее отображение имеет вид
f(x) = J(x,f)1'nK(x), (3)
где К(х) = (к'(х)), i,j = 1 п — матрица, называемая нормированной матрицей Якоби отображения /, К задана в некоторой односвязной области D С Rn, detK = 1.
В [26] доказаны, в частности, теоремы, обеспечивающие необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения (3) в случае С2-гладхоети матрицы К и достаточные условия в случае, когда коэффициенты к' принадлежат классу Wp, 0 > п, дано описание свойств отображения / в терминах
свойств матрицы К.
Далее, в работе [27] приведены достаточные условия локальной квазиконформности отображения с ограниченным искажением, описываемого соотношением (3). При этом используются следующие величины: осцилляция матричной функции К класса Loo(D)
osc(К, В) = inf ( sup | К(х') - АДх")]') (4)
Is} x',z"e(.Bn£>)S
(здесь В — шар с центром в точке а & D, S — множество нулевой п-меры Лебега) и
|С(х)К(х) - /„| (5)
(здесь С{х) — непрерывная матричнозначная функция, значения которой — невырожденные п х n-матрицы, х С В, 1п — единичная гг х тг-матрица). Даль-

выполнено
Уа" € Л" (Ва,.)т. = В, УЬ" 6 В". (Л^. = Л".
Т.е. каждая точка множества Л£. соединяется отрезком с каждой точкой множества В",.
Пусть Р1 — параллельный перенос, переводящий С^т- в <5с.. Обозначим
с = л", п рдв;'.).
Очевидно, Сп~1(С) — 1. Семейство отрезков
Б* = {[а,6], где а 6 С, Ь = Р{~*(а)}
есть требуемое. Лемма доказана.
В следующей лемме утверждается, что из семейства отрезков, начала которых образуют множество ненулевой £~1-меры и концы которых также образуют множество ненулевой £га_1-меры, можно выделить подсемейство 5ц параллельных отрезков, объединение которых является множеством ненулевой £п_1-меры.
Лемма 2.5 Пусть А, В С И71 — измеримые ограниченные множества. Если £”(Л) ■ Сп(В) ф 0, то семейство отрезков Б(А,В) содержит подсемейство вида 5ц.
Доказательство. Применяя лемму 2.3 для каждого из множеств Л, В найдем такие кубы <51, <52 единичного объема, что
£П(Л П дх) = £"(<50, Сп(В П С52) = £"(д2).
Эти кубы совмещаются параллельным переносом.
Обозначим Л = ЛП<5ь В = ДП<52. Повторяя для множеств Л, В рассуждения, изложенные в п.2 доказательства теоремы 2.2 приходим к заключению леммы. Лемма доказана.
Сформулируем и докажем утверждение о согласованности меры на семействах отрезков с теоремой Фубини.