Гомологические свойства некоторых функциональных, групповых и операторных алгебр

• Автор: Табалдыев, Сейтек Болотбекович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 83 с.

0 Определения и предварительные сведения
0.1 Сведения из теории множеств и общей топологии
0.2 Банаховы пространства, алгебры и модули, операторные алгебры, проективные модули
0.3 Гомологические размерности банаховых алгебр
0.4 Строгие гомологические размерности
1 Пространственная проективность неразложимых операторных алгебр
2 Неинъективность предуального бимодуля алгебр мер бесконечных дискретных групп
3 Некоторые алгебры непрерывных функций глобальной размерности два
4 Аддитивность гомологических размерностей для некоторого класса банаховых алгебр
5 О строгих гомологических размерностях алгебр непрерывных функций
Список литературы

В диссертации решены некоторые задачи из топологической гомологии — области функционального анализа, изучающей банаховы и локально выпуклые алгебры с использованием методов гомологической алгебры. Это задачи о свойствах операторных алгебр, связанные с проективностью пространственного модуля, задача об инъ-ективности предуального бимодуля для алгебр мер на дискретных группах и задачи о гомологических размерностях алгебр непрерывных функций на компактах и тензорных произведений этих алгебр, рассматриваемых в одном случае как общие банаховы алгебры, а в другом в рамках теории строгих банаховых алгебр.
Несколько слов об истории алгебраической стороны вопроса. Одна из самых ранних теорем гомологической алгебры принадлежит Д. Гильберту. Это его знаменитая теорема о сизигиях (см. [57, 14]). На современном языке эта теорема утверждает, что глобальная размерность алгебры С [2:1,2:2 гп] многочленов от нескольких комплексных переменных равна числу переменных. Очень важные гомологические характеристики ассоциативных алгебр — группы когомологий были определены Г. Хохшильдом [58, 59] в 1945 году и затем применены к радикальным расширениям алгебр. А в основополагающих монографиях А. Картана, С. Эйленберга £>] и С. Маклейна [14] была предложена техника производных функторов и резольвент, которая позволяет при вычислениях групп когомологий освобождаться от стандартного комплекса Хохшильда.
Появление топологической гомологии было стимулировано вне-гомологическими приложениями. Например, необходимость изучения расширений банаховых алгебр была замечена ещё в 1954 году
Н. Данфордом при изучении спектральных операторов [16]. В 1962 году Г. Камовиц [66], используя банахов аналог комплекса Хохшильда, определил группы когомологий Нп(А,Х), п = 0,1 банаховой алгебры А с коэффициентами в банаховом А-бимодуле X и, в частности, установил биекцию между множеством классов эквива-

лентности сингулярных расширений А с помощью X и элементами Н2(А, X). Впоследствии группы когомологий банаховых алгебр применялись к задачам, связанным с дифференцированиями, расширениями и возмущениями банаховых [51, 60, 72] и операторных [64, 65] алгебр, с аменабельными локально компактными группами [31].
В 1970 году А. Я. Хелемским был предложен способ перенести понятия производных функторов и резольвент на случай банаховых алгебр и модулей [24]. Оказалось, что это возможно осуществить при помощи специального относительного варианта гомологической алгебры, в основе которого лежит понятие относительно проективного банахова модуля. Как и в теории ассоциативных алгебр этот подход предоставил возможность подойти к изучению когомологий с более широкой точки зрения и, кроме того, открыл новые полезные объекты для изучения. С этого времени гомологические методы стали активно применяться в различных задачах теории банаховых алгебр. Они дали возможность получить информацию о существовании аналитической структуры в спектре коммутативной банаховой алгебры [15, 17], получить гомологические критерии для топологических свойств, таких как паракомпактность [25] и метризуемость [19,13], доказать сильные теоремы о структурных свойствах алгебр фон Нойманна и других самосопряженных [30, 54, 55] и несамосопряжённых операторных алгебр [1,2].
В настоящее время известно несколько гомологических теорий топологических алгебр. Каждая со своими объектами для изучения и задачами, различным запасом алгебр и модулей. Гомологическая теория банаховых алгебр (см. [24, 28, 29, 21]) — самая ранняя из них. Другие, параллельные теории — это, например, гомологическая теория алгебр Фреше и гомологические теории полных локально выпуклых алгебр (см. [84, 28, 21, 70]). Из более поздних заслуживает внимания гомологическая теория стереотипных локально выпуклых алгебр [34]. И, самые важные из новых теорий — две теории квантованных банаховых алгебр, отвечающие операторно-проективному и хаагерупову тензорным произведениям соответственно (см. |56]).

Пустьг : всо((?х(?) —► со(0) — любой морфизм /Дб^-бимодулей. Предположим, что до 6 Я. Докажем, что т(щк)(до) = 0. Для произвольных элементов 7*1, гг гп € Я рассмотрим функцию

Очевидно, выполнено равенство
ег;1д0 ■ 4>ь ■ ег.^(д,Н) = пЛпдо'д,Ьг;1д0).
Непосредственно проверяется, что ег-1до ■ ц)}1к • ег.д-1 — характеристическая функция множества всех пар (д, Л) 6 б х (?, удовлетворяющих условиям:
1. пд^дНг~1до = Нк.
2- пд^д е 1к или Иг~1д0 е ЛИз условия 1 следует, что д = дог1хНкд^1пН~1. По условию 2 д е даг~11к или /г е Лд^п.
А следовательно,
д е дог^Т У д0г;%Т У дог;1Ь2Т У)... и 9о^1НкТ У 1)дог;%Т[]д0гГ%^1Т[)... 1)д0г;%Н-к1Т.
Нетрудно проверить, что для любого натурального п найдутся такие элементы п, гг гп 6 Я, что множества
{яогД1, ..., рог,“1^, дог;%^д0г^Ьк^1}
попарно не пересекаются при разных г = 1 Следовательно, |Н| = 1.