Масштабирующая энтропийная последовательность как метрический инвариант динамических систем

• Автор: Затицкий, Павел Борисович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 86 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Геометрия пространства допустимых полуметрик

1.1. Основные определения и обозначения

1.2. Теорема об исправлении

1.3. Теоремы о борелевских сигма-алгебрах

1.4. Эпсилон-энтропия полуметрической тройки

1.4.1. Определение и некоторые оценки

1.4.2. Эквивалентные определения допустимости полуметрик

1.5. Пространство допустимых полуметрик. Определение и свойства т-нормы

1.6. Сходимость допустимых полуметрик, аппроксимация срезками
1.7. Критерий предкомпактности семейства допустимых полу.метрик в ш-норме
Глава 2. Динамика метрик на пространстве с мерой
2.1. Определение и свойства масштабирующей энтропийной последовательности
2.1.1. Порождающие полуметрики
2.1.2. Масштабирующая энтропийная последовательность как метрический инвариант динамической системы
2.1.3. Сравнение с колмогоровской энтропией
2.1.4. Масштабирующая энтропийная последовательность сдвига Бернулли
2.2. Чисто точечный спектр и последовательностная энтропия Куш-пиренко

2.2.1. Масштабирующая энтропийная последовательность динамической системы с чисто точечным спектром
2.2.2. Сравнение с последовательностной энтропией Кушни-ренко
2.3. Масштабирующая энтропийная последовательность подстановочной динамической системы
2.3.1. Подстановочные динамические системы
2.3.2. Вычисление масштабирующей энтропийной последовательности подстановочной динамической системы
Заключение
Список публикаций диссертанта по теме
Список литературы

Введение
Основная цель данной работы — изучение свойств масштабирующей энтропийной последовательности — метрического инварианта динамических систем.
Под динамической системой обычно понимается пара (А, Т), где X некоторое пространство, а Т отображение из X в себя. Изучается динамика, задаваемая отображением Т на пространстве X, то есть действие па X последовательности отображений Т'!, п е N. Если отображение Т обратимо в том или ином смысле, также рассматриваются отрицательные степени отображения Т — Тп, при п 6 Х,п < 0. Кроме того, изучаются действия групп преобразований. Представляют интерес динамические системы в разных категориях, то есть па пространстве X заводится некоторая дополнительная структура, а па отображение Т накладываются условия сохранения этой структуры. Так, например, изучаются динамические системы в категории пространств с мерой, в категории топологических пространств, гладкие динамические системы.
Эргодическая теория изучает динамические системы в категории пространств с мерой. Объектами в данной категории являются пространства с мерой (X,/Д, а на отображение Т накладывается условие измеримости и сохранения меры. Две метрические динамические системы ,Т) и
(Хг, называются метрически изоморфными, если существует изомор-
физм пространств с мерой 5: (Хх,/^) —> (X2,^2), переводящий одну динамическую систему в другую, то есть такой, что 5 о Т = Г2 о 5. По сути, изоморфные динамические системы имеют одинаковые свойства. Оказывается, динамические системы, имеющие совершенно разную природу, зачастую оказываются изоморфны друг другу.
Одним из центральных вопросов эргодической теории является пробле-

дим измеримую полуметрику д на (X, р) следующим образом:
д(и, у) = <
О, и, V Є В,
р(и,у), и,УЄА, р(и,х), и Є А, у Є В, р(у,х), и Є В,у є А.
Легко проверить, что это действительно полуметрика, и, кроме того, для любых и, V Є X выполнено неравенство 0 < р(и,у) — р2П(и,у) < д(и,у). Таким образом, по определению т-пормы имеем оценку
\р-Рш\т<Ы1Мх2„

qd.pL2 =
р(и, у)др{и)др{у) +
чД2 АхВ ВхА В2/
р{и,х)др(и)др(у) <

(р{и, х) + р(ж, у)) др{и)др(у) + 2ц(В)
р(и,х)др{и)
2(р(А) + р{В)) р(и, х)др(;и) = 2 л
р(гх, x)dp{u).
Осталось заметить, что левая часть полученного неравенства не зависит отж,
в то время как среднее значение его правой части по х 6 (X, р) совпадает с
2 _[ рдр2. Лемма доказана. □

Лемма 10 позволяет обобщить результат леммы 9.
Теорема 5. Пусть последовательность суммируемых полуметрик рп сходится к допустилюй полултприке р в пространстве Ьх (X2, р2). Тогда эта последовательность сходится и в т-иорме к тому же пределу.
Доказательство. Зафиксируем 5 > 0 и, воспользовавшись абсолютной