Применение топологических методов к задачам продолжения аналитических функций

• Автор: Немировский, Стефан Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 45 с.

Содержание
Введение

1 Области голоморфности и псевдовыпуклость

2 Инварианты Зайберга - Виттена и гипотеза Тома

3 Оболочки голоморфности вещественных поверхностей 34 Литература

Введение
Одним из основных вопросов теории функций на комплексных многообразиях является нахождение геометрических и топологических условий, при выполнении которых на многообразии существуют или не существуют непостоянные голоморфные функции. Простейший пример доставляет условие компактности: по принципу максимума все голоморфные функции на компактном многообразии постоянны.
В начале 90-х годов А. Г. Витушкиным в связи с проблемой обращения полиномиальных отображений в С2 была сформулирована следующая задача.
Гипотеза (А) Если вложенная двумерная сфера в СР2 гомологична проективной прямой, то любая голоморфная в окрестности этой сферы функция постоянна.
В условиях этой гипотезы индекс пересечения вложенной сферы с проективными прямыми равен 1. Таким образом, рассматриваемая сфера пересекает бесконечность при любом выборе проективных координат. Иначе говоря, окрестность такой сферы нельзя поместить ни в какую аффинную часть С Р2.
Если взять в качестве сферы саму проективную прямую Ь, то утверждение гипотезы становится очевидным. Действительно, голоморфная в окрестности Ь функция постоянна на £ и на любой близкой прямой. Но все эти прямые пересекаются друг с другом, следовательно, эта функция постоянна на некотором открытом множестве, а значит, вообще постоянна.
На самом деле, это обоснование гипотезы Витушкина несколько обманчиво. Предложенное рассуждение проходит для любой (подвижной) комплексной кривой Ь С X с положительным индексом самопересечения на комплексной поверхности. Но в работе автора [7] были построены вещественные поверхности с большим количеством голоморфных функций в окрестности, являющиеся тем не менее деформациями таких комплексных кривых на рациональных поверхностях (см. п. 3.1 диссертации).

Первый важный шаг в направлении доказательства гипотезы (А) был сделан в 1994 г. Ивашковичем и Шевчишиным [19]. Предложенный ими подход опирался на теорию псевдоголоморфных кривых М. Громова. В упрощенным виде его можно описать следующим образом.
Предположим, что $ С СР2 — симплектическая сфера, т. е. ограничение формы Фубини Штуди 1 > 0. Это условие выполнено, на-
пример, для СР-малых вещественных шевелений проективной прямой. Рассмотрим окрестность II Э 5. Можно показать, что существует непрерывное семейство почти комплексных структур Ь € [0,1] на многообразии СР2 со следующими свойствами:
1) 70 — это стандартная интегрируемая структура;
2) сфера 5 является -голоморфной кривой;
3) все структуры подчинены форме о;5, т. е. сдр5(£, 0, /£ ф 0;
4) {Jt ф <7о} С С и для любого t > 0.
Идея состоит в построении непрерывного семейства -голоморфных сфер Ясно, что тогда 50 — это просто проективная прямая. Кроме того, “вылезающие” из II части кривых 54 дадут семейство голоморфных (в обычном смысле в силу условия 4)) пленок, вдоль которого можно будет продолжать голоморфные функции. Тем самым, любая голоморфная функция на II аналитически продолжается в окрестность проективной прямой, откуда следует утверждение гипотезы Витушкина для симплек-тических сфер.
В построении нужного семейства р основную роль играет условие 3), позволяющее применять теорему компактности Г ромова, и топологическое условие Сх(СР2) [5] > 0, позволяющее продолжать семейство St при малых изменениях параметра Ь.
Метод Ивашковича и Шевчишина на самом деле позволяет доказать существование рациональной кривой в оболочке голоморфности (или мероморфности) любой симплектической сферы Р на кэлеровой поверхности X при условии, что значение первого класса Черна С1(Х) [5] > 0.

3 Оболочки голоморфности вложенных вещественных поверхностей
В этой главе мы применяем результаты двух предыдущих глав для описания геометрии вложенных вещественных поверхностей в псевдовыпук-лых областях. Все теоремы этой главы получены в работах автора [7, 8].
3.1. Штейновы области на алгебраических многообразиях, пересекающие все комплексные гиперповерхности. Вопрос о существовании строго псевдовыпуклой области, пересекающей все комплексные гиперповерхности, был поставлен Хираи [17] в частном случае X = СРп. Первые примеры таких областей были получены Фабром [11], однако для построенных им областей Я2 (Я Z) = 0, и существуют гладкие вещественные (2п — 2)-мерные поверхности, гомологичные комплексным гиперповерхностям, но уже не пересекающие область.
Мы построим штейновы области, “гомологически” нетривиально пересекающиеся со всеми комплексными гиперповерхностями.
Теорема 3.1 Пусть X — проективное алгебраическое многообразие размерности не меньше двух. На X существует такал строго псев-довыпуклая штейнова область I/, что для любой комплексной гиперповерхности Z С X класс когомологий [/?] Є Н2(и,И) отличен от нуля.
Доказательство. Начнем со случая, когда X — комплексная поверхность. Пусть С С X — неособая комплексная кривая. По теореме 1.8 существует гомологичная С вложенная вещественная поверхность, име-' ющая базис штейновых строго псевдовыпуклых окрестностей. Действительно, для выполнения условий 1± < О можно взять гомологичную С поверхность 5 рода
у(5) = д(С) + тах{0, сх{Х) [С]}.
Такая поверхность существует, поскольку у(5) > д(С).
Пусть теперь X — произвольное алгебраическое многообразие комплексной размерности п. Пусть Я,-, у = 1 ..п — 1, — трансверсально пе-

ресекающиеся гиперплоские сечения X. Тогда У=Х-и(Х'Н-)~ вложенная
;--1 *