Достаточные условия однолистности различных операторов и экстремальные задачи на классе ограниченных функций

• Автор: Пронин, Петр Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 106 c. : ил

ГЛАВА I. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОДНОЛИСТНОСТИ ИНТЕГРО-ДШЕ-РЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ И ОПЕРАТОРОВ СВЕРТКИ АДАМАРА
§ I. Операторы свертки Адамара на классах регулярных функций, представимых интегралом
Стилтьеса

§ 2. Однолистные операторы свертки Адамара с

гипергеометрической функцией

§ 3. Однолистные интегральные операторы

§ 4. Звездообразность дифференциального оператора на классе хУ1

Глава II. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НА КЛАССЕ ОГРАНИЧЕННЫХ

ФУНКЦИЙ

§ I. Класс однолистных не обращающихся в нуль

ограниченных функций

§ 2. Класс не обращающихся в нуль ограниченных
функций
§ 3. Область значений коэффициентов биоднолистного кубического полинома
БИБЛИОГРАФИЯ

Диссертационная работа посвящена получению необходимых условий и достаточных условий однолистности и проблеме коэффициентных оценок аналитических в единичном круге функций.
Теория однолистных функций занимает центральное место в геометрической теории функций комплексной переменной и является основополагающей в теории конформных отображений.
Возникшее из физических представлений понятие конформного отображения находит многочисленные приложения к различным областям физики (работы Н.Е.Жуковского, С.А.Чаплыгина, М.В.Келдыша и др.) - метод конформного отображения используется при решении задач гидро- и аэродинамики, теории упругости, теории электростатического, магнитного и теплового полей и т.п.
В фундаментальных исследованиях советских математиков В.А. Лаврентьева, И.Е.Базилевича, Г.М.Голузина, Н.А.Лебедева, Л.А.Ак-сентьева, В.Я.Гутлянского, Й.М.Милина, а также в работах зарубежных специалистов на различных семействах функций, регулярных в заданных односвязных областях, основное место занимали и занимают исследования вопросов получения всевозможных необходимых и достаточных условий однолистности функции и изучения влияния свойства однолистности на другие свойства функции.
При этом большое место в теории однолистных функций занимают вопросы получения количественных оценок модуля функции, модуля и аргумента ее производной, оценок коэффициентов и функционалов.
Одной из важных проблем теории однолистных функций была и

остается проблема коэффициентов: каким необходимым и достаточным условиям должны удовлетворять первые П коэффициентов степенного ряда, чтобы его сумма принадлежала рассматриваемому классу функций?
Пусть 3 - класс регулярных и однолистных в единичном круге Л функций / , нормированных условиями ^(0) - 0 ,
Впервые в 1916 г. Л.Бибербах высказал предположение (гипотеза Бибербаха) о том, что для всякой функции / € $ верна точная оценка:,
1^1 «п.
Знак равенства реализуется только для функции Кебе
которая отображает единичный круг Л на всю плоскость с разрезом по радиальному лучу с вершиной в точке ( ).
Однако решение проблемы Бибербаха оказалось очень сложным. Для всего класса 5х однолистных функций гипотеза доказана лишь для п. = 2, 3, 4, 5, 6. Дальнейшее продвижение в этом направлении связано с большими трудностями, как теоретического, так и технического характера. Поэтому, наряду с оценками последующих коэффициентов, истинность гипотезы Бибербаха стали устанавливать на различных подклассах однолистных функций. В частности, она верна для выпуклых, звездообразных и близких к выпуклым функций, для однолистных функций с вещественными коэффициентами.
Следовательно, получение новых подклассов однолистных функ-

следует, например, из теоремы Дезарга (/17/, отдел 5, гл. I, § 3, задача 36). Нетрудно видеть, что доставляет минимум для функции . Таким образом, для /27^ ?0
42 Г—~ <*>+ гг1/1! = Л .
[г.«**)
’аким образом, в круге /2е/ •. / Р (%)/Р'(%) I
Известно, что если
Лир I Р’(г>/РЪ)1^М,

’де постоянная М определяется условиями теоремы 3.3, то фу-ГКЦИЯ р € £ (/10/).
Из этого, очевидно, следует, что если
шр 1Р"(Ю/Р'(*)1 * М/Чо} /2/£?0
■о функция Р однолистна в круге /27
Но в нашем случае Р (%)/Р(?)ЫА в круге 1ЪН% . .. [оэтому в случае, если А. <М/%0 , То функция Р однолистна ! круге 1%(^ .
Теорема 3.3 доказана.
Следствие I. Пусть функция ^ £ 3 , 2 £ Л
[усть
Р(х)-! (№) М~*+~ . (38)
'огда функция Р однолистна в круге /27 ^ 0,5" , если