Обобщенные теоремы о неявной функции

• Автор: Шварцман, Ефим Айзикович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 115 c. : ил

ОБОЗНАЧЕНИЯ

ГЛАВА I. ОБОБЩЕННЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

1.1. Отображения, дифференцируемые по Гато

1.2. Дифференцирование оператора суперпозиции

1.3. Обобщенные теоремы о неявной функции

1.4. Уравнение в частных производных первого порядка

1.5. Обратимость оператора суперпозиции

1.6. Обобщенные решения обыкновенного дифференциального

. . уравнения второго порядка

1.7. Разрешимость интегрального уравнения с оператором Гаммерштейна

ГЛАВА 2. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ. ДОКАЗАТЕЛЬ-

. СТВО ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ
2.1. Теорема Майкла о непрерывной выборке
2.2. Метод последовательных приближений. Доказательст-
. . во теоремы о слабом решении
2.3. Доказательство■теоремы■о•свойствах•неявной функции
2.4. Доказательство теоремы о гомотопии отображений
2.5. Доказательство теоремы■о■глобальной - разреши
. . мости
2.6. Доказательство'следствий•теоремы о гомотопии отображений

ГЛАВА 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ УТВЕРЖДЕНИЙ
3.1. Доказательство леммы о сведении
3.2. Доказательство леммы о разрешимости'уравнения ■ Дэ(х,Х)г =
3.3. Доказательство леммы (слабое решение' ре-
. . шение)
3.4. Доказательство леммы об инъективности
3.5. Доказательство леммы из параграфа 1
ЛИТЕРАТУРА

ОБОЗНАЧЕНИЯ
1.Х .У (с возможными индексами) обозначают банаховы пространства ; Т/с X - всегда открытая область ; В у (х>
= [ Х6 X : // х - х0 (( < .
2. 7_ обозначает топологическое пространство.
3. Для краткости через -£(х) обозначается отображение [х. ь-> . Так, фсхД) - отображение по Эс. , Д
фиксировано ; - последовательность, ИвМ - аргумент ;
Ф(Оь) = Ф . Подобное обозначение мы употребляем и в более сложных ситуациях. Так, обозначает отображение
ЦхШ Х&))] ; - линейный оператор £ ЬШ К> Х(^)) Ь (/0 }
4. ^ ф , ..., Ли) обозначает наряду с производную по переменной 3^

[I { и,х,^)|| ^ М| (1x11) (1 + н^и)ъ ,
1^(0*,£рЦ ^ 01X11) (Л-И^п'ф
где ое^в!^ , Х^1Л>0 , М-^, - непрерывные функции.
Пусть р>1,Х •> • Вектор-функция Ос.(4)£ V/ р называется
обобщенным решением уравнения (I), если для всех Хгё. С (Со,'1], ВТ ) , Но>У0^0 , выполнено равенство
^ ХЦ;)) , Ъ(4) > И +
+ ^ ^ О,'ХО) , х(.4)), у(^)> М =0.
Х(4) является обобщенным решением задачи (I), (2), если х(£) является обобщенным решением (I) и удовлетворяет условию (2).
1.6.2. Пример. Рассмотрим уравнение
(,Х(4) 4- Ц ©(-):-1/г) х(Х))+ Ц 0(4-1/2) х(Х)=о , (3)
где 0(4) - функция Хевисайда,
г 1 . о
00)
Задача имеет обобщенные решения соиуО х(4) , где
i 0 5- 4г £ 1 /г

о , -ь <о
х(4)
1-4 1/2. ^ -У ±
Действительно, ДЛЯ ВСЯКОГО УЄ^О С С °, ")