Условные математические ожидания и мартингалы на йордановых банаховых алгебрах с полуконечным следом

• Автор: Бердикулов, Мусирмонкул Абдиллаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ташкент
• Количество страниц: 123 c. : ил

В В Е ДЕ Н И Е

ГЛАВА I. ПРОСТРАНСТВА Ц И Ц ДЛЯ ЙОРДАНОВЫХ

БАНАХОВЫХ АЛГЕБР С ПОЛУШЕЧНЫМ СЛЕДОМ

§ І.І. Необходимые сведения

§ 1.2. Пространства и

§ 1.3. Топология сходимости по мере

§ 1.4. Вложение пространств 1лДО и 1дг(£) в

алгебру А
ГЛАВА 2. УСЛОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ И МАРТИНГАЛЫ НА ЙОРДАНОВЫХ БАНАХОВЫХ АЛГЕБРАХ С ПОЛУКОНЕЧНЬМ СЛЕДОМ

§ 2.1. Условные математические ожидания на

йордановых алгебрах. Теоремы существования и единственности

§ 2.2. Характеризационные теоремы для.условных
математических ожиданий
§ 2.3. Мартингалы на йордановых алгебрах
§ 2.4. Теоремы о сходимости мартингалов на
йордановых алгебрах
ЛИТЕРАТУРА

В 1953 году в работе Сигала [38] были заложены основы некоммутативного интегрирования. Он рассмотрел алгебру неограниченных операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана, являющуюся некоммутативным аналогом пространства измеримых функций на пространстве с мерой. В дальнейшем алгебры измеримых операторов были рассмотрены в работах Стайнспринга [41] ,Сан-карана [Зб] А37] > Падманабхана [35] , Нельсона [ЗЗ] , Йедо-на [53] и других.
Нельсон [33] доказал, что алгебра тотально измеримых операторов [54] является пополнением алгебры фон Неймана в топологии сходимости по мере (топология построенная при помощи полуконечного следа).
Развитие теории алгебр фон Неймана и некоммутативного интегрирования дало толчок исследованиям, по теории вероятностей на алгебрах фон Неймана,
Условные математические ожидания (у.м.о.) на алгебрах фон Неймана рассматривались в работах Умегаки [50 - 52] , Томийямы [46],[47], Арвесона [23], Такесаки [45], Накамура --Турумар.у [32] , Моя [34] и других. В этих работах у.м.о. определяется аксиоматически. Основываясь на результатах Томийямы [46] , у.м.о. можно рассматривать как проекционное (т.е.
Р = Р , Р = Р ) отображение с единичной нормой .В своих работах Накамура - Турумару [32], Мой [34] и Умегаки [51]дали характеризационные свойства у.м.о. Мартингалы на алгебрах фон Неймана изучались в работах Куку леску [25] ,[2б] , Умегаки [51],

Ленса [31], Данг-Нгока [27], Барнета [24] и других. Б этих работах получены теоремы о сходимости мартингалов на алгебрах Фон Неймана (конечных или полуконечных).
В середине 60-х годов в работах Топпинга [48] и Штёрмера [43] впервые были рассмотрены неассоциативные вещественные аналоги алгебр фон Неймана - JW - алгебры, т.е. слабо замкнутые йордановы алгебры самосопряженных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве. После появления работы Альфсена, Шульца, Штёрмера [19] и Шульца [39] (были введены JB-njsw--алгебры) бурно начала развиваться теория йордановых банаховых алгебр.
Недавно Ш.А.Аюповым было введено понятие упорядоченной йордановой алгебры ( QJ - алгебры) [i] , [з] . Были изучены йордановы банаховы алгебры с конечным следом. В частности изучены условия существования у.м.о. и различные сходимости мартингалов [б] ,[2l]
Более широкий и естественный класс JBW - алгебр со-- алгебры с точным нормальным полуконечным
ставляют

следом (он совпадает с классом всех локально модулярных - алгебр [48] ). Поэтому возникает задача о рассмотрении вышеупомянутых вопросов в - алгебрах с полуконечным следом.
Данная диссертация посвящена решению следующих проблем: В йордановой банаховой алгебре с полуконечным следом
- построить теорию интегрирования по следу;
- описать алгебру неограниченных элементов;
- изучить существование условных математических ожиданий относительно данной подалгебры и их свойства;
- получить теоремы о сходимости в среднем и почти всюду мартингалов.

То есть, существует идемпотент р е V , р є
Пг 1=

- спектральное разложение элеПусть ^ Я с} 2

мента & ^ . Положим р - £ ^ .Тогда
^■оо 1 4_
№.^=1 яМе.х и ир1ак1=е£|ак|££тА,
о 1 I
т.е. Цир^П'^ьг. Следовательно о $)
при У1>Я0, т.е. СХ.у[ ^ о по мере. Лемма доказана.
Из этой леммы видно, что всякая 1л р -фундаментальная последовательность является "Ь - фундаментальной (чр^1,1'), где Х. - топология сходимости по мере.
Пусть X произвольный элемент ’ 1^-и)с^гГ
- Фундаментальная последовательность, определяющая
элемент X . Тогда 1x^,1 является X - фундаментальной
А "л
и, следовательно, определяет некоторый элемент X »

причем X не зависит от выбора -фундаментальной последовательности (ХуД, определяющей элемент X (в силу леммы 4.1). Поэтому корректно определено отображение
Ч:Ьд*>—»А.
Аналогично, учитывая лемму 4.1, определяется отображеНИЄ іІ 1 Ьд<П —>А . Очевидно, эти отображения

V и "^1 линейны* Мы покажем, что они являются вложениями, т.е. иньективны.
Предварительно докажем следующую лемму.