Приближение дифференцируемых в смысле Вейля функций и значение поперечников некоторых функциональных классов

• Автор: Темурбекова, София Давронбековна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 95 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I. Наилучшее полиномиальное приближение дифференцируемых периодических функций ИЗ ^

§1.1. Обозначения и предварительные факты, используемые в дальнейшем

§1.2. Наилучшее полиномиальное приближение функций, дифференцируемых в смысле Вейля

§1.3. Неравенство Колмогорова для дробных производных и некоторые его применения

§1.4. Вычисление верхних гранов наилучших приближений тригонометрическими полиномами некоторых классов функций в пространстве Ьг
Глава II. Точные значения п-поперечников некоторых классов функций в пространстве Ьг

§2.1. Определение п-поперечников и классов функций

§2.2. Об отыскании наименьшей константы в обобщённом неравенстве Джексона - Стечкина

§2.3. Решение задачи С.Б.Стечкина для класса функций .

§2.4. Точные значения п-поперечников классов функции
Литература

Введение
Теория приближения функций - одна из наиболее интенсивно развивало-щихся областей современной математики. Особое место в теории приближения занимают экстремальные задачи оптимизационного содержания. Наиболее существенные результаты окончательного характера в этом направлении получены в задачах наилучшего полиномиального приближения дифференцируемых периодических функций.
Хорошо известно, что основным объектом теории приближения функций являются задачи, связанные с необходимостью заменить сложные функции линейными суммами конечного числа более простых функций, так чтобы возникающая при этом погрешность была наименьшей. Если о функции нам известны лишь некоторые общие свойства, то целесообразно рассматривать задачу приближения класса таких функций. Как правило, при приближении классов функций предпочтение отдавалось алгебраическим или тригономет-'-рическим полиномам.
В 1936 году А.Н.Колмогоров сформулировал задачу о поперечниках, в которой впервые выбор аппарата приближения был поставлен в зависимость от цели приближения. С этого времени задача приближения классов функций подвергалась изучению с новой точки зрения. Следует отметить, что вопросы наилучшего равномерного приближения периодических дифференцируемых функций рассматривались А.Н.Колмогоровым [18], Ж.Фаваром [48,49],
Н.И.Ахиезером и М.Г.Крейном [3], С.М.Никольским [28,29], С.Б.Стечкиным [34], Н.П.Корнейчуком [20,21], Б.Надом [27], А.В.Ефимовым [16], Н.И.Черных [51, 52], В.П.Моторным [26], Л.В.Тайковым [37, 39], В.И.Ивановым [17], С.Б.Вакарчуком [6-11], М.Ш.Шабозовым [54,55] и многими другими.
Вопросами наилучшего равномерного приближения периодических дифференцируемых в смысле Вейля функций в разное время занимались
B.Nagy [27], В.К.Дзядык [13, 14], С.Б.Стечкин [34], Сунь Юн-шен [36],
C.А.Теляковский [40], В.Н.Малоземов [24] и другие.
В данной работе рассматриваются экстремальные задачи на конкретных классах функций периодических дифференцируемых в смысле Вейля функ-

ций, принадлежащих гильбертову пространству Ь2 := 1/2 [0,2тг]. Специфика гильбертова пространства обеспечивает возможность получить более полные результаты по сравнению с другими банаховыми пространствами.
Приводим краткое содержание диссертационной работы.
В первом параграфе первой главы приводятся необходимые обозначения и определения, нужные для дальнейшего, а также излагаются история вопроса и известные результаты. Всюду далее, мы придерживаемся следующими обозначениями: К - множество всех действительных чисел; М+ - множество положительных чисел, N - множество натуральных чисел; Ж+ := N и {0}.
Через Ьр := Ьр[0, 27г], 1 < р < оо обозначим множество 27г-периодичес-ких суммируемых в р-11 степени функций / с конечной нормой
2тг 1/Р
— J |/(ж)|Р <1х I < оо, если 1 < р < со
'■= ||/1Ьр[0,27г] — <

ess sup {|/(ж)| : 0 < х < 2п} < оо, если р — оо.
Через L2 := 1/2 [0, 27г] обозначим множество 27г-периодических суммируемых с квадратом в смысле Лебега действительных функций /(ж) с конечной нормой

J f(x)2 dx
< 00.

Под 1$ Z/^} [0, 2тг] (г G Z+, L® = L2) будем понимать множество
27г-периодических функций f £ L2, у которых производные (г — 1)-го порядка /(г-1) (г 6 N) абсолютно непрерывны, а производные r-го порядка f(r> принадлежат пространству L2. Множество всевозможных тригонометри-

ческих полиномов Гп_{х) = -7^ + (a/- cos кх + ftk sin кх) порядка п —

обозначим 1~2u—i' Известно, что для произвольной функции / €Е Ь2, имеющей разложение в ряд Фурье
f(x) ~ (ak(f)cos кх + bkU)sin кх)! (0.0.1)

Объединяя оба случая (1.1.4.) и (1.1.5), С.Б.Стечкин [34] ввёл в рассмотрение класс И7(га) всех непрерывных периодических функций /, представимых в виде

/О) = у + ^ J K{t - x)(f(t)dt,

K(t) = '^2 k~r cos {kt ~ ’

г > 0, а - любое вещественное число, a ip(t) - существенно ограниченная измеримая функция, удовлетворяющая тем же самым условиям:

ess sup {|<^>(t)| : 0 < t < 2я} <1, J ip(t)dt = 0.

Легко видеть, что W^rr) = W^r a W^rr +1) — W('r Рассматривая случай 0<г<а<2— г, где 0 < г < 1, С.Б.Стечкин доказал, что
£n-i(W^a))c[QM] = sup {К-Мсры ■ / е И*г>(«)} -= sup [Шсюм ■■ / 6 WW(a), / X Т^} - ^Еп^(К)ь =
= 4 JC^a (п = 123 ; 0 < г < 1, 0<г<а<2 — г)

з ^;(2^ + 1)'-+1'
Отметим, что в некоторых задачах теории функций важную роль играют интегралы дробного порядка, которые впервые были введены Риманом, а затем обобщены Лиувиллем. Указанные интегралы вводятся следующим образом: если /(ж) - интегрируемая функция в некотором конечном интервале