Поверхностные меры и формула Стокса в локально выпуклых пространствах

• Автор: Шамарова, Эвелина Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 99 с.

1 Аппроксимация поверхностных мер на поверхностях конечной коразмерности в локально выпуклом пространстве

1.1 Терминология и обозначения главы

1.2 Теоремы о поверхностном слое

1.3 Применение полученных результатов к гауссовским мерам

1.4 Построение поверхностной меры

2 Применение теоремы о поверхностном слое к доказательству формулы Стокса

2.1 Операции в классе дифференциальных форм Соболевского типа относительно гладкой меры на ЛВП

2.2 Формула Стокса

3 Поверхностные меры на поверхностях бесконечной коразмерности — Броуновский лист со значениями в компактном ри-мановом многообразии

3.1 Первый шаг построения процесса

3.2 Теорема Чернова для эволюционных семейств

3.3 Асимптотика по £ для интеграла вида

3.4 Применение теоремы Чернова для эволюционных семейств к построению неоднородных процессов на многообразии
3.5 Второй шаг построения процесса
Общая характеристика работы Актуальность темы
Диссертация относится к бесконечномерному анализу. В ней рассматриваются два класса поверхностных мер в локально выпуклых пространствах. Первый из этих классов образован поверхностными мерами на обладающих конечной коразмерностью (бесконечномерных) подмногообразиях локально выпуклых пространств. При этом предполагается, что поверхностные меры порождаются гладкими мерами на этих пространствах. Второй класс образован поверхностными мерами на подмногообразиях, обладающих бесконечной коразмерностью. При этом в качестве объемлющего пространства рассматривается пространство непрерывных функций, определенных на квадрате и принимающих значения в евклидовом пространстве, и предполагается, что в этом пространстве задана мера, порождаемая так называемым броуновским листом; в качестве подмногообразия рассматривается множество непрерывных функций, определенных на (том же) квадрате и принимающих значения в компактном римановом многообразии этого евклидова пространства. В диссертации также доказан аналог теоремы Чернова для эволюционных семейств операторов.
Исследование свойств поверхностных мер первого класса составляет одно из традиционных направлений бесконечномерного анализа. Оно тесно связано с исследованием бесконечномерных дифференциальных операторов и общей проблемой дезинтегрирования мер. Изучение таких поверхностных мер начато в работах А. В. Скорохода [10), и А. В. Угланова [19] около 30 лет назад в рамках теории гладких мер на бесконечномерных пространствах, созданной в работах С. В. Фомина, О. Г. Смолянова и их учеников. Теория таких поверхностных мер существенно используется в так называемом исчислении Малливена [33], [23]. В настоящее время эта область бесконечномерного анализа может рассматриваться как классическая.
Техника, развитая при исследовании поверхностных мер на подмногообразиях конечной коразмерности, оказалась недостаточной для исследования поверхностных мер на подмногообразиях, обладающих одновременно бесконечной размерностью и бесконечной коразмерностью. Возникающие здесь трудности были преодолены в серш! работ О. Г. Смолянова, X. ф. Вайцзек-кера и их соавторов [11], [36], [15], [14], [35]. В этих работах была развита техника построения поверхностных мер на подмногообразиях векторного пространства функций вещественного аргумента, принимающих значения в И", в предположении, что подмногообразия образованы функциями, принимающими значения в римановом подмногообразии Еп. Полученные результаты связаны с исследованием эволюционных дифференциальных

уравнений на многообразиях. Следующим естественным шагом является распространение этой техники на случай векторного пространства и его подмногообразия, состоящих из функций нескольких вещественных переменных [16] (см. также [25], [26], [33], [23], [39]). Такого рода многообразия возникают в квантовой теории поля и в У-теории. Таким образом, тема диссертации представляется вполне актуальной.
Научная новизна
Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них состоят в следующем:
1. Описан метод аппроксимации поверхностных мер Угланова с помощью мер некоторых окрестностей для подмногообразий коразмерности 1 в локально выпуклом пространстве и доказана теорема о поверхностном слое.
2. Развито исчисление дифференциальных форм конечной костепени в локально выпуклом пространстве и доказана формула Стокса для поверхностей коразмерности 1 в локально выпуклом пространстве.
3. Доказан аналог теоремы Чернова для эволюционных семейств операторов.
4. Описан метод построения броуновского листа со значениями в компактном римановом многообразии, вложенном в конечномерное евклидово пространство. Этот результат существенно усиливает аналогичный результат Малливена для групп Ли.
Методы исследования
В диссертации используются методы бесконечномерного и стохастического анализа, а также ряд специальных конструкций.
Теоретическая и практическая ценность
Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при решении задач стохастического анализа на многообразиях, в частности при исследовании случайных полей со значениями в компактном римановом многообразии.

направления ер [4, 37]. Пусть далее числа р > 1 и д > 1 таковы, что 1/р+1/д = 1. Обозначим через Щ векторное пространство, состоящее из всех дифференциальных п-форм /, таких что /х ||/(х)||Рр(с1х) < оо. Определим норму в П”, положив
11/11»,= (/ wmizKdx)
і /р
Для элементов f — 23 fi(x) ei S Op и со = 23 w7(a:)e7 6 определим 7бГ(п) 7£Г(п)
билинейную операцию
(w, f)n = J (w(x), /(®))n • (62)

Интеграл в правой части существует в силу неравенства Гельдера и определения нормированного пространства О”. Пользуясь определением скалярного произведения (•, •)„ и теоремой Лебега, мы можем переписать (62) в виде
<«,/)»= Е /л (ж) со7(х) //(/fa) . (63)
76Г(П)3£
Мы также здесь учли абсолютную сходимость ряда в правой части (63).
Пусть Ар — векторное подпространство пространства состоящее из тех элементов /, обладающих кодифференциалом 5f, для которых
(j p/w)iu-i/^(^)j + (j т*)\рн \f(x)\pnKdx.
и удовлетворяющих следующему условию: для любого 7 € Г(п) существуют число д > 0 и неотрицательные функции ду(х), ду{х) и д2У(х), такие что ду(х) /^//-суммируема для любого р <£ 7, a gl(x) и gly{x) //-суммируемы, причем для всех р ф 7 при t < 6 выполнены неравенства |/7(ж + tep) < min{57(x),£ri7(a:)} и depfy(x+tep) < д2У(х). Определим норму в Ар, положив
1/р
№« = 11/11»,+ If |№)|U//(dx) +IJ mxWH\f(xWnp(dx)
Пусть далее В" — векторное подпространство пространства П”, состоящее из тех элементов и>, обладающих дифференциалом с1и и удовлетворяющих