Мартингально-эргодические и эргодико-мартингальные процессы с непрерывным временем

• Автор: Подвигин, Иван Викторович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 60 с.

1 Определение исследуемых процессов

1.1 Мартингальная часть

1.2 Эргодическая часть

1.3 Сходимость процессов по норме

2 Случай интегрируемого супремума

2.1 Сходимость процессов почти всюду

2.2 Доминантное и максимальное неравенства

3 Случай коммутируемости усреднения и условного ожидания

3.1 Предварительные замечания

3.2 Теорема сходимости для атомических фильтраций

3.3 Распространение теоремы сходимости на пространство Лебега

4 Родственные процессы
4.1 Обобщенные мартингалы Рота
4.2 Асимптотические мартингалы
Список литературы

Проблемой унификации эргодических средних и обращенных мартингалов начали заниматься с середины прошлого века. Любопытное совпадение поведения и сходство доказательств теорем сходимости для этих стохастических процессов привели к задаче о нахождении суперструктуры, унифицирующей и мартингалы, и эргодические средние.
Совпадение параметров в максимальном и доминантном неравенствах, в неравенствах пересечения полосы, в различных колебательных характеристиках - все это привело к мысли о наличии глубоких связей между этими процессами.
Приведем для сравнения некоторые из этих характеристик (£п - обращенный мартингал и Ап/ - эргодические средние).
Максимальное неравенство [2, 27|:
/<*А,
Афтах Ак/ > е} <
1<к<п ер
Доминантное неравенство(для неотрицательных процессов) [ 13, 27):
II тах &||1 < + [Ф^фйА), || тах < ~~г( 1 + / /^+Ди),
1<к<п в + 1 J 1 <к<п бт 1 J

Неравенства пересечения полосы [2, 16, 29].
Пусть ^1ь(хп){.и1ь(хп)) число пересечений последовательностью хп интервала [а, 6] снизу вверх (сверху вниз), тогда:
Е1/1Д») < - а)+, Еи1ь(Ап/) < г^-Е(/ - а)+,
О С1 О (1
Е<6(£п) < г^-Е(6 - Ъ)+, Еи1„(Ап/) < т—~-Е(/ - 6)+;
(у и (X
в случае неотрицательности процессов [3, 17]:
а{^> к} <(|)к.
Неравенство для е-флуктуаций [4].
Пусть Р/сДхп) - множество, на котором последовательность хп допускает к ^-флуктуаций, тогда:
МЕЫеО) < Ат£^ ЧЪЛАп/)} <
Неравенство для квадратической вариации [4, 13].
Для Н2(хп) = хп - хп+1|2)1/2 верно:
\Н2(£п)\Р < С|Ы1Р, 1|Я2(Лп/)||р < Л||/||р.
Много других интересных примеров совпадения характеристик поведения эрго-дических средних и мартингалов можно найти в [4, 25].
Наличие особенностей в поведении процессов привело С. Какутани в 1950 году к постановке вопроса о нахождении причин такого поведения [26]. Была поставлена задача о нахождении общего унифицирующего максимального неравенства, которое бы включало максимальное неравенство и для мартингалов, и для эргодичсских средних.
С тех пор было разработано шесть подходов к решению этой проблемы (М. Дже-рисон, Дж.-К. Рота, А. и К. Ионеску-Тулча, А. М. Вершик и А. М. Степин, А. Г

мартингалы и усреднения по Абелю. Кроме того, для обобщенного мартингала была доказана теорема сходимости и но норме, и почти всюду [31, с. 261], из которой сразу вытекают теоремы сходимости для мартингалов и усреднений по Абелю. Чтобы это доказать, был найден аналитический вид операторов Рейнольдса [31, с. 105]. А именно, каждый оператор Рейнольдса, сохраняющий единицу, сжимающий в Ьр,р > 1 и слабо компактный в Ах представляется в виде:
где ст-алгебра В и полугруппа {1/4, Ь > 0}, порожденная сохраняющими меру преобразованиями, определяются оператором К однозначно.
То, что подход основан на изучении суперпозиции усредняющего по Абелю действующего преобразования и оператора условного математического ожидания (именно в таком порядке), а также то, что под унификацию попадают только регулярные мартингалы и эргодические средние для усредняемых функций класса Зигмунда Ыо%Ь, непосредственно сближает его с рассмотрением эргодико-мартингальпых процессов.
Однако, применение эргодико-мартингальных процессов позволяет доказать более общие утверждения об унификации мартингалов и эргодических средних, чем рассмотрение обобщенного мартингала. А именно, удается доказать теорему сходимости в более общем случае, чем сохраняющие меру преобразования. О неприменимости подхода обобщенного мартингала в этом более общем случае упоминали и сами его разработчики [30, с. 57].
4.1.2. Для унификации абелевских усреднений относительно полугруппы операторов, не порожденных сохраняющими меру преобразованиями, и регулярных мартингалов рассмотрим класс операторов вида:
г°°
Ч/ = / е-Ч/1Е(/В)с1
(18)