Исследование детерминированных и стохастических задач в бесконечномерных пространствах

• Автор: Парфененкова, Валентина Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 94 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Классификация полугрупп операторов

1.1. Определения и вспомогательные утверждения

1.2. Диаграмма полугрупп операторов по вложениям

1.2.1. Доказательство связей между полугруппами

1.2.2. Примеры, иллюстрирующие строгость вложений

Глава 2. Связь между стохастическими задачами и задачами для УЧП в гильбертовых пространствах

2.1. Определения и вспомогательные утверждения

2.2. Аналог теоремы Фейнмана-Каца в случае гильбертовых пространств

2.2.1. Подход Ито

2.2.2. Полугрупповой подход
Глава 3. Приложения
3.1. Моделирование броуновского движения в задачах естествознания и финансовой математики
3.1.1. Стохастические задачи для процессов математической физики с учетом случайных возмущений
3.1.2. Стохастическая задача Коши для цен акций
3.2. Применение теоремы Фейнмана-Каца в конечномерном и бесконечномерном случаях
Заключение
Обозначения

Список литературы
Введение
Многочисленные математические модели в различных областях науки, техники и экономики приводят к дифференциальным уравнениям, коэффициенты и неоднородности которых могут содержать случайные составляющие, называемые шумом. Получаемые таким образом стохастические дифференциальные уравнения зачастую представляют собой более реалистичные математические модели по сравнению с детерминированными и являются важными для исследования.
Подход Ито к решению дифференциальных стохастических уравнений состоит в формализации слагаемых вида «шум»-Д£ приращениями некоторого гауссовского процесса {IV(Ь), £ ^ 0} и сводит дифференциальное уравнение с шумом к интегральному уравнению с интегралом по йУ{{)1. Примером такого гауссовского процесса является броуновское движение, то есть случайный процесс с независимыми нормально распределенными приращениями У/{и+) — И7 (£,:), с нулевым математическим ожиданием и вариацией пропорциональной £;+1 — для которого с вероятностью почти наверное выполнено условие IV(0) = 0. В бесконечномерных пространствах процесс с аналогичными свойствами называется винеровским процессом и зачастую броуновское движение в конечномерном случае также называют винеровским процессом.
Согласно теореме Колмогорова о существовании непрерывной модификации, существует винеровский процесс со всюду непрерывными траекториями (см., напр., [15]), поэтому в дальнейшем под термином «винеровский процесс» будем понимать процесс именно с непрерывными траекториями.
1 Среди первых монографий, описывающих подход Ито к решению стохастических уравнений, сле-
дует выделить монографии [6, 8], однако наиболее близким в контексте данной работы является изло-
жение подхода Ито в монографии [15].

Следовательно
|Ис/(£Жр1(2е)-§.
Таким образом, £?(/(£) ограничено по норме конечной константой и условие (о3) выполнено. Значит полугруппа {£/(£),£ > 0} является полугруппой роста |.
Вычислим явный вид оператора

Щ){{хп,Уп)} = / Jo

U(t){(xn,yn)}dt {(хп,уп)}.
Дважды интегрируя но частям каждую компоненту (хп и уп), получаем „ Х + п +1 п

(А + п + I)2 + п
^ А Т п Т 1 (
Уп — 7 i гтт ГэУп (А + п + у + пл
Рассмотрим
(А + п + I)2 + п‘

(А + п + I)2 + п
iVn —• ап(^)%п Рп{^)Уп
>Хп d'n(A)t/n Т Дп('^)®га-

А п Ф [А] + 1 1, п = [А] +
Для него
Уп — 0.
00 2 1 2 И{(*..М}Н = Е*» = Т ~ 1 - 7ПТХЛ5 + 1 < ^

п=1 - + ^
а значит {(хп,уп)} G X. Таким образом имеем
II!?(чи ~11Т1 1|Д(Ж(^,Уп)}|| J|#(A){(in,yn)}|| EAi Хп (а2п + пРР1)1 _
|РЧАл1 — SUP ——---------------------—— < —тттт-----г-ттт— =------------—;---------- >
{(ГХ)} 11{(«)}||

E^Li хпп%рп ^ 6 ЕГ=1*п
У'хпп%13.

ХпП*Рт
п=[А]+
= -^n§j8„ я
га=[А]-И
Сделаем подстановку при п = [А] + 1, а значит при п = А + а, 0 ^ а < 1.
П$ • п

я2 (А + п + I)2 + п
(А 4- а)

п=[А]+
(А + а)

я2 (2А + 1 + а)2 + (А + а)2 6 А1+§
я2 5(A + 1)2 + A(f-6) + 2(а2 + а-2) я2 5(А + I)