О взаимосвязи методов суммирования дискретными средними Рисса с другими классическими методами суммирования

• Автор: Хахинов, Илья Вячеславович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 98 с.

Оглавление

Список методов суммирования

Введение
Глава 1. Абелевы взаимосвязи методов дискретных средних Рисса и методов Чезаро разных порядков

1.1 Методы суммирования дискретными средними Рисса (1М, 2)

1.2 Методы суммирования дискретными средними Рисса (/М, а)

порядка а при а >

Глава 2. Абелевы взаимосвязи методов дискретных средних Рисса и других классических методов суммирования (кроме методов Чезаро)

2.1 Взаимосвязь с методами Абеля, Эйлера и Бореля

2.2 Взаимосвязь со специальными методами Вороного

Глава 3. Тауберовы взаимосвязи методов суммирования дискретными средними Рисса и методов суммирования Чезаро
3.1 Тауберовы условия для методов одного порядка
3.2 Тауберовы условия для меюдов суммирования дискретными
средними Рисса четного порядка
Список литературы

Список методов суммирования
В приводимом списке содержатся определения всех рассматриваемых в работе методов суммирования и некоторые их свойства, выраженные в типичных для теории рядов терминах (эти термины также определяются в списке).
Везде далее, если не оговорено противное, а — фиксированное неотрицательное действительное число; п — неотрицательное целое число;
последовательность действительных чисел; У) ап — соответствующий ей ряд (когда пределы суммирования не указаны, мы считаем, что оно производится
Пусть О, — метод суммирования числовых рядов, то есть правило, по которому ряду У) ап мы сопоставляем (или нет) некоторое число. Суммируемость ряда У)а„ к числу 5 методом П обозначается кратко: У)а„ = 5(П). Запись У) ап = Б означает, что ряд сходится в обычном смысле к числу 5 (то есть Пт й,, = 5).
1. [36, стр. 125-127] Ряд у>„ называется суммируемым методом Чезаро порядка а к числу Б (запись У]ап = Б(С,а)), если

от 0 до +оо). Пусть вп = У) йі — частичные суммы ряда У) ап.

Нт с;; = б,
1-де
Здесь и в дальнейшем
Г (г + 1) Г (і - г + 1) ’
Г(і + 1)
-де 0 < г < I.
2. [36, стр. 146] Ряд ]Г]ап называется суммируемым методом суммирования дискретными средними Рисса порядка а к числу S (запись ]Г] ап = S(Rd. q)), если
lim = S,
п—¥ oo

Rn = ~ И Щ а"

Иногда будем писать кратко — метод дискретных средних Рисса. Заметим, что
lim — S <=> lim /?"+1 = 5.
71—»OO 71—»OO
Тогда в силу того, что
л“+1 = (nTij- (д “ " +1)0 01/1
в дальнейшем будем использовать именно эту последнюю форму определения. То есть

; ап — S(Rd. а) <=> lim — (n — v + 1)" а„ = S.
' п-юо (п + 1)Q
V ' !А
3. [36, стр. 20] Ряд Х)ат, называется суммируемым методом Абеля к числу S (запись Ylan — S(A)), если степенной ряд
Дх) = ХахГ'
сходится ДЛЯ 0 < X < 1 и
Ит /(ж) = S.
2-И-О
4. [36, стр. 224] Пусть q >0 фиксированное действительное число. Ряд ап называется суммируемым методом Эйлера порядка q к сумме
S (запись J2an — S(E,q)), если

Поменяем пределы суммирования в (1.7), и пусть п — г = I.
Тогда
а, = (-и-+Е(-1)''-‘ф+1(;г,(1)'~1).

Далее обозначим выражение под знаком суммы без (—1)п~1 через 6;. Получаем

Ап = (-1)Г‘ + ]Г(-1Г%.

Рассмотрим более подробно последовательность {6;}.
Члены {6Д убывают с ростом I для каждого фиксированного п. Это выполнено в силу того, что разность
е{е + 1) (е - 1 + у) е(е + 1) (е - 1 + у')(£ + з)
Д О + !)!
= £(£ +1)-,-(£~ 1 + Д Л _ £ + Л Д 3 + 1)
е(е + 1) (е — 1 + у) j + 1 — £
Д V з +1
- £(£ +1) (£ -1 + з) /1 _
(; + 1)! 1 ;
больше 0 при 0 < £ < 1.
В первую очередь рассмотрим коэффициенты Аг, для четных п = 2т, где т — натуральное.
Имеем
Агш = 1 — е + Ь2 — Ьз + . + &2Ш-2 — 2т-1 + 2т-
Рассмотрим разность А'2т — 1 + £
Получаем
А'2т — 1 + £ = 1 — £ + Ь-г — 63+... + Ь*2т~2 ~ Ь2т-1 + 2 т — 1 + £