Максимально вырожденные серии представлений группы SL(n, R)

• Автор: Ракитянский, Александр Семенович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Тамбов
• Количество страниц: 108 с.

Оглавление
Введение

Глава I. Максимально вырожденные серии представлений ’’ранга 2” группы ЭЦп, Е)

§1 Группа 8Ь(п,К), ее подгруппы и разложения

§2 Пространство флагов

§3 Многообразие Штифеля

§4 Многообразия Грассмана

§5 Инвариантные дифференциальные операторы на многообразиях Грассмана

§6 Многочлены Коорнвиндера

§7 Гармонический анализ На многообразиях Грассмана

§8 Представления Те

§9 Структура представлений Те
§10 Сплетающие операторы
§11 Инвариантные эрмитовы формы и унитаризуемость
Глава И. Случай п
§12 Связь с псевдоортогональной группой
§13 Грассманово многообразие
§14 Представления для п
§15 Л-инварианты, ядро Пуассона
Литература

Введение
1. Под гармоническим анализом на однородных пространствах С/Я обычно понимается разложение квазирегулярного представления группы О сдвигами в пространстве Я (С/Я) по инвариантной мере. Это представление унитарно. Широкий и очень важный класс однородных пространств С/Я образуют полупростые симметрические пространства. Для них решение задачи о разложении квазирегулярного представления продвинуто далеко вперед: Хариш-Чандра, И. М. Гельфанд, С. Г. Гиндикин, Ф. И. Карпелевич - для римановых симметрических пространств (60-е годы), Хариш-Чандра для полуп-ростых групп Ли (70-е годы), В. Ф. Молчанов для пространств ранга 1 (80-е годы), Н. Бопп, П. Харанк, С. Сано - для фактор-пространств комплексных групп по их вещественным формам, П. Делорм,
Э. ван ден Бан, Г. Шлихткрулль - некоторые версии формулы Планшереля для общего случая (90-е годы). Однако, кроме этой (классической) задачи, в гармоническом анализе имеется еще много других, связанных с изучением представлений в пространствах функций на С/Я с нелокальным скалярным произведением или даже унитарных в индефинитном смысле. В частности, такие задачи естественно появляются при построении квантования в духе Ф. А. Березина на полупростых симметрических пространствах, которые являются симплектическими многообразиями (В. Ф. Молчанов, Г. ван Дейк и их сотрудники).
2. Одним из примеров таких пространств (имеющим большое значение) является пространство
С/Я = 8Б(гг,М)/5(СБ(р,К) х вЦд, К)), р + д = п. (0.1)
Оно есть обобщение однополостного гиперболоида в К3, который получается при п = 2,р = 5 = 1. В самом деле, этот гиперболоид есть ЗБ(2,К)/СБ(1,К).
Как известно, группа ББ(2,К) является ключевым примером в теории представлений. В частности, гармонический анализ на однополостном гиперболоиде важен как сам по себе, так и как источник различных общих идей.

Пространство (0.1) - полупростое, псевдориманово, симплектичес-кое, оно относится к классу пара-эрмитовых симметрических пространств первой категории, см. [22], [26]. Оно имеет размерность 2pq и ранг min{p, q}.
Построение квантования на пространстве (0.1) и изучение тесно связанных с квантованием так называемых канонических представлений приводит к задаче о разложении тензорных произведений представлений группы SL(n, R), относящихся к максимально вырожденным сериям, связанным с пространством (0.1). Это - представления группы SL(n,R), индуцированные характерами (одномерными представлениями, не обязательно унитарными) максимальных параболических подгрупп Р±, для которых Н является подгруппой Леви. Это - подгруппы верхних и нижних блочно треугольных матриц.
3. В связи с этим возникает задача об исследовании самих этих максимально вырожденных представлений Т*. //, £ С, с — 0,1.
Случай q = 1 (или р = 1) был исследован в работе Г. ван Дейка и
В.Ф.Молчанова [18].
Случай р > l,g > 1 оказывается значительно более трудным. Это связано с тем, что в этом случае ранг пространства G/H, а также ранг многообразия Грассмана, в функциях на котором реализуются представления, больше 1. Здесь имеется только один частный результат: в работе Д.Барбаша, С.Сахи, Б.Спех [16] для р = q предложена некоторая характеризация инвариантных подпространств в случае, если имеется конечномерное неприводимое подпространство.
4. В предлагаемой работе мы исследуем представления Те группы SL(n. М) для случая q — 2 (мы считаем, что п > 4). В этом случае ранг пространства (0.1) и соответствующего многообразия Грассмана равен 2, поэтому мы называем наши представления ” максимально вырожденными представлениями ранга 2.”
Мы находим: различные реализации представлений, их структуру (приводимость, неприводимость, композиционные ряды в приводимом случае), сплетающие операторы (как в матричном, так и интегральном виде), находим инвариантные полуторалинейные формы и, наконец, выясняем, когда наши представления или их подфакторы уни-таризуемы.
Поскольку в качестве основного метода изучения представлений мы используем ограничение на максимальную компактную подгруппу К = SO(га), нам пришлось исследовать гармонический анализ намно-

координатами в Го- Мы можем также считать £ локальными координатами в Г.
Лемма 4.2. Вложение е—► Го является О-эквивариантным: оно переводит действие (2.3) в действие 7 н-> 7д, т.е. если £ Є Ц" переходит 676 Го, то £ д переходит в 7д.
Доказательство. Мы можем переписать (4.23) в виде
где р € Р+., см. (2.2). Пусть с - правый нижний блок этой матрицы р, а также матрицы дд, см. разложение Гаусса (1.17). Если д имеет вид (1.1), то
Матрица с принадлежит СЬ(2; К). Пусть І Є 5 соответствует £ по
Эта матрица сі входит в СГ(2, К). Следовательно, (4.30) показывает в силу (4.1), что если в является представителем плоскости 7 Є Го, то в является представителем плоскости 7р Є Го. □
Мы можем рассматривать меру (1д{() на ц-, см. (2.24), как меру на Го, заданную в неоднородных координатах. Поскольку обе меры е?о7 и <1р(() на Го инвариантны относительно ГГ, они отличаются только множителем. Сравнение объемов q- и Го, см. (2.25) и (4.21), показывает, что эти меры просто совпадают:
(4.26)
Пусть £ = £ д, см. (2.3), т.е.
9ц9 - рд$,
(4.27)
с = £/? + ё.
(4.28)
(4.29)
(4.30)
(4.31)
с?о7 = др(С).
(4.32)