Аппроксимативные свойства обобщённых рациональных функций

• Автор: Рютин, Константин Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 92 с.

Оглавление
Введение.
1. Непрерывность е—выборок на обобщённые рациональные функции в пространствах Ьр, 0 <
р < оо.

§1.1. Положительные результаты

ч §1-2. Отрицательные результаты

1.2.1. Случай пространств Ьр[0; 1], 0 < р < 1

1.2.2. Случай пространств ГДО; 1]

§1.3. Замечания

2. О липшицевых ретракциях на многообразия и на множества 7?.,„)П.

§2.1. Липшицевы ретракции на многообразия

2.1.1. Геометрические свойства липшицевой поверхности
2.1.2. Доказательство теоремы 2.
2.1.3. Доказательство теоремы 2.
§2.2. О липшицевых ретракциях на множества рациональных функций
2.2.1. Геометрические свойства Т^од
2.2.2. Доказательство теоремы 2.

2.2.3. Замечания
3. Равномерная непрерывность г-выборок на обобщённые рациональные дроби.
§3.1. Положительные результаты
3.1.1. Общая теорема
3.1.2. Приложения теоремы
§3.2. Отрицательные результаты
Список литературы.

Введение.
В диссертации рассматриваются вопросы, связанные с устойчивостью операторов обобщённого рационального приближения.
Напомним несколько стандартных определений геометрической теории приближений. Пусть (X, d) - метрическое пространство, А С X] положим р(х,А) := infae^ d(x,a). Назовём оператором метрического проектирования многозначное отображение, сопоставляющее каждой точке х G Л’ множество Ра(х) = {a G А : d(x,a) = р(х,А)}. Может случиться, что для некоторых точек х G X выполнено Рл(х) — 0. Любую точку a G Ра(х) мы называем элементом наилучшего приближения для х. Множество А называется чебышёвским в А', если #Pa(x) = 1 для любой точки х G А'.
Теория приближений началась с работы П.Л. Чебышева 1859 года [1], в которой была показана единственность элемента наилучшего приближения множеством Vm алгебраических полиномов степени не выше т и множеством алгебраических рациональных дробей, т.е. множеством функций
= ■ /“г € С; 1] : v G Рт, w G Pn i
w(t) J
в пространстве C'[0; 1]. Заметим, что вопросам существования в 19 веке не уделяли должного внимания. В [1] был опи-

Лемма доказана. >
Лемма 1.6. Ilycmt) число а > 0 достаточно мало, а ф : Д —)• Д — непрерывное отображение такое, что для любой грани G симплекса Д (0 < dimG' < dim Д) выполнено неравенство: supp{a,G) < а. Тогда р Є Ф(А), где р = (■%,. • • дт)—центр симплекса Д.
Доказательство, с Пусть утверждение леммы не выполнено, и р £ ф(Д). Рассмотрим отображение / : Д -•> Д. определённое таким образом: /(ж) = 1(ф(х);р) П <9Д, где 1(а,Ь) -луч, идущий из а в Ь. Заметим, что у / нет неподвижных точек. Это противоречит теореме Брауэра. Лемма доказана.

Докажем теорему 1.3. Пусть N = [|] + 1. Мы покажем,
* что при є < во можно подобрать такое 5 > 0, соответству-
ющие функции е 1, . . . , едг, (из следствия 1) и симплекс 7 = {/а є L[0; 1] : /а = Еры Л?еЛ А Є д}, что Ф будет иметь точки разрыва уже на у (ограничения на во возникнут в процессе доказательства). Пусть гА = Ф(/д). Рассмотрим отображение F : у —> устроенное следующим образом F(f) = ^ (Fi(rA),... FN(rx)), где Fj : L\Uj] -> M, j £ J(iV) определено так: = fv, |tf(r)| dr, и S(/A) := Ej=i Е(га) (ниже
мы покажем, что S(f) > 0). Заметим, что Р(у) С Д. Достаточно показать, что так определенное F не может быть непрерывным на всём у. Для любого j £ I(N) выполнено неравенство Fj(f^) > 1—5. Из определения г-выборки следует, что (1 + e)p(fti,R) > II//( - /у|| > Еры Е(/г - >
1 — N5 — Еры Fj(r^). Отсюда и из первой части леммы 1.5 для любого р £ Д получаем неравенство 5(/р) > 1 — iVd —